发布时间 : 星期三 文章MATLAB数值分析实验四（雅各比、高斯赛德尔迭代，以及二分法和牛顿迭代解非线性方程）更新完毕开始阅读
佛山科学技术学院
实 验 报 告
课程名称 数值分析 实验项目 迭代法
专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 2111505010 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日
一. 实验目的
1、 在计算机上用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求线性方程组 。 2、 在计算机上用二分法和Newton迭代法求非线性方程 的根。 二. 实验要求
1、按照题目要求完成实验内容； 2、写出相应的Matlab 程序；
3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 5、写出实验报告。 三. 实验步骤
1、用Matlab编写Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求线性方程组Ax?b的程序。 2、用Matlab编写二分法和Newton法求非线性方程f(x)?0的根程序。
?3?3、设A??0??2?0?2??21?,b?(1,3,1)T,对于线性方程组Ax?b，考虑如下问题： 12??（1）分别写出Jacobi迭代矩阵和Gauss-Seidel迭代矩阵
（2）用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解该方程时，是否收敛？谁收敛的更快？ （3）用实验步骤1编好的两种迭代法程序进行实验，通过数值结果验证（2）的结论。 4、用调试好的二分法和Newton迭代法程序解决如下问题
求e5x?sinx?x3?20?0的根，其中控制精度eps?10?8，最大迭代次数M?50。
四. 实验结果 1.%Jacob.m
function [x,B] = Jacob(A,b,n)
%Jacobi迭代求解方程组Ax=b，系数矩阵A，迭代次数n %求解的准备工作，构建各迭代系数阵等： m = length(A); D = diag(diag(A)); L = -tril(A,-1); U = -triu(A, 1); J = D^(-1)*(L+U); B = J;
f = D^(-1)*b;
%初始化x即启动值： x = zeros(m,1);
%根据x(k+1)=Jx(k)+f进行矩阵运算： for i=1:n
x = J*x + f; end
%GauSeid.m
function [x,G] = GauSeid(A,b,n)
%Gauss-Seidel迭代求解方程组Ax=b，系数矩阵A，迭代次数n %求解的准备工作，构建各迭代系数阵等： m = length(A); D = diag(diag(A)); L = -tril(A,-1); U = -triu(A, 1); G = inv(D-L)*U; f = inv(D-L)*b; %初始化矩阵：
%根据x(k+1)=Gx(k)+f进行矩阵运算： x = zeros(m,1); for i = 1:n
x = G*x + f; end
2.%Dichotomy.m
function x=Dichotomy(x1,x2,p,n) %利用二分法求根，区间[x1,x2] %p为精度 a = x1; b = x2;
%进行n次二分：
%第一个条件判断根在a,b区间内
%第二个条件判断是否中间点就是根，是则迭代终止； %第三个条件判断二分后根在中点左侧还是右侧； %第四个条件判断精度是否达标，用区间长度代替 for i=1:n
if f(a)*f(b)<0 x0 = (a+b)/2; p0 = (b-a)/(2^i); if f(x0)==0 x = x0; else
if f(a)*f(x0)<0 b = x0; else a= x0; end end end if p0>p
continue; else x = x0; break; end end
%NewIterat.m
function x=NewIterat(x0,p,n) %利用牛顿迭代法求根；
%x0为启动点，估计的靠近根的值，p为精度，n为迭代次数； syms x1;
%设置一个自变量x1，方便后面的求导: f1 = diff(f(x1));
%进行n次迭代，精度达标会提前终止；
%第一个判断是根据控制条件来确定真实误差是选绝对还是相对误差； %第二个判断是确定精度是否满足要求 for i=1:n
x1 = x0;
x = x0-f(x0)/eval(f1); if x<1
RealDiv = abs(x-x0);
else RealDiv = abs(x-x0)/abs(x); end
if RealDiv>p x0 = x; else break; end end
3.run43.m
clc,clear;
A = [3 0 -2;0 2 1;-2 1 2]; b = [1;3;1]; n1 = 50; n2 =100;
%输入A,b矩阵，设置迭代次数为50次； %调用迭代函数，返回迭代矩阵； [x,B] = Jacob(A,b,n1); xj50 = x;
f1 = max(abs(eig(B))) %显示谱半径，确定收敛性； [x,B] = GauSeid(A,b,n1); xg50 = x;
f2 = max(abs(eig(B))) %谱半径；
xj100 = Jacob(A,b,n2); xg100 = GauSeid(A,b,n2); Jacobi= [xj50,xj100]
%对比迭代50次和100次的结果 GauSei= [xg50,xg100]
%很容易看出准确解为[1；1；1]
4.f.m
function y = f(x)
%所有f(x)=0中f(x)函数； y = exp(5*x)-sin(x)+x^3-20;
下页是具体解时的程序：