发布时间 : 星期一 文章（全国版）2020年中考数学热点专题冲刺6 方案设计问题更新完毕开始阅读
热点专题7 方案设计问题
《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中明确提出要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题，2019年中考试卷中有一类方案设计题，特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐，它要求学生根据題意设计符合条件的方案，或对己知方案进行评判，涉及的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数方程或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念.
考向1 设计测量安装方案问题
1．（2019·山西）某\综合与实践\小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).
课题 成员 测量工具 测量旗杆的高度 组长:××× 组员:×××，×××，××× 测量角度的仪器，皮尺等 说明:线段GH表示旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m，测点A，B测量 与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，示意图 测量项目 ∠GCE的度数 测量数据 ∠GDE的度数 A，B之间的距离 …… 任务一:两次测量A，B之间的距离的平均值是______m.
任务二:根据以上测量结果，请你帮助该\综合与实践\小组求出学校旗杆GH的高度.
(参考数据:sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
任务三:该\综合与实践\小组在制定方案时，讨论过\利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度\的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可) 解：任务一:平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m
任务二:由题意可得，四边形ACDB，ACEH都是矩形，∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，设EG=xm， 在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°， ∵tan31°=
31.2° 5.4m 30.8° 5.6m …… 31° B，C，D都在同一竖直平面内.点C，D，E在同一直线上，点E在GH上. 第一次 25.6° 第二次 25.8° 平均值 25.7° EGx∴DE=， ，DEtan31o在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
EGx，∴CE=， oCEtan25.7xx∵CD=CE－DE，∴－=5.5，∴x=13.2，
tan25.7otan31o∵tan25.7°=
∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7. 答:旗杆GH的高度为14.7m.
任务三:答案不唯一:没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
2．（2019·常德）如图是一种淋浴喷头，右图是的示意图，若用支架把喷头固定在A点处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD?的夹角∠D?AB=37°，喷出的水流BC与AB行程的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，
cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．
解：过B点作MN∥DE，分别交直线AD和直线EC于点M、N，由题意可知AD∥CE，∠ADE=90°
∴四边形DMNE为矩形，∴∠AMB=∠BNC=9 0°，MN=DE，MD=NE．在Rt△ABM中，∠D?AB=37°， sin∠MAB=
MBAM，∴MB=AB·sin37°=25×0.6=15，cos∠MAB=，∴AM=AB·cos37°=25×0.8=20，∵MN=DE=50，∴ABABNB=50－15=35，∵∠ABM=90°－37°=53°，∠ABC=72°，∴∠NBC=180°－53°－72°=55°，∴∠BCN=90°－55°=35°．在Rt△BNC中，tan∠BCN=－20=160（cm）．
答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置．
BN35，∴CN==50，∴EN=CN+CE=50+130=180=MD，∴AD=MD－AM=180CN0.75
考向2 设计方案搭配问题
1.（2019·遵义） 某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人，若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元 （1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？ 解（1）设租用A型客车的费用是x元，B型客车的费用是y元，根据题意得
4x+3y=10700;3x+4y=10300，解得，x=1700，y=1300;
答：租用A型客车的费用1700元，B型客车的费用是1300元. （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，根据题意得 45a+30b≥240；1700a+1300b≤10000； ∴
16-2b100-13b?a?，∵a，b均为正整数，∴a=2，b=5;a=4，b=2两种方案， 317当a=2，b=5时，费用为1700?2?1300?5?9900（元）， 当a=4，b=2时，费用为1700?4?1300?2?9400（元），
答：租用A型客车4辆，B型客车2辆时费用最低，最低费用为9400元.
2．（2019山东滨州，22，12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
解：（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a人，b人，
ìì2a+3b=180，a=45，????， 解得í答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人． í??a+2b=105b=30.????（2）设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，根据题意，得y=400x+280（6－x）=120x+1680．
由45x+30（6－x）≥240，得x≥4． ∵120＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x为最小值4时，y值最小． 即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低， 此时，最低费用y=120×4+1680=2160（元）． 3．（2019浙江省温州市）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少． 【解题过程】（1）该旅行团中成人有x人，少年有y人，根据题意，得：
?x?y?10?32?x?17，解得?.答：该旅行团中成人有17人，少年有5人； ?x?y?12y?5??