发布时间 : 星期五 文章2019届高三数学 备考冲刺140分 问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题（含解析）更新完毕开始阅读
问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题
一、考情分析
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用． 二、经验分享
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 三、知识拓展
x2y21.设点P?m,n?是椭圆C：2?2?1?a?b?0?上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若
abkPA?kPBbm2??，则??0时直线AB斜率为定值?n?0?，若??0，则直线AB过定点
an2?2n2b2m??m?,?n?2?，
?a???F是该椭圆焦点，则b?OP?a,a?c?PF?a?c；
x2y22. 设点P?m,n?是双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若
abkPA?kPBbm2??，则??0时直线AB斜率为定值?2?n?0?，若??0，则直线AB过定点
an 1
?2n2b2m??m?,?n?2?；
?a???3. 设点P?m,n?是抛物线C：y?2px?p?0?一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若
2kPA?kPB??，则??0时直线AB斜率为定值?2n2p??m?,?n???；
????四、题型分析 (一) 定点问题
p?n?0?，若??0，则直线AB过定点n求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明．
【例1】已知直线l的方程为y?x?2,点P是抛物线y2?4x上到直线l距离最小的点,点A是抛物线上异于点P的点,直线AP与直线l交于点Q,过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2?4x交于点B.
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点,并求这个定点的坐标.
【分析】（Ⅰ）到直线l距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线l平行且与抛物线相切的切点：如根据点P到直线l的距离
x0?y0?222y0?y0?24d??2??y0?2?2?442?2得当且仅当y0?2时取最小值,（Ⅱ）解析几何中定点问2?y12? y1?,求出直线AP题的解决方法,为以算代证,即先求出直线AB方程,根据恒等关系求定点.先设点A ? ，?4?方程4x??y1?2?y?2y1?0,与直线l方程联立,解出点Q纵坐标为yQ?2y1?8.即得B点的坐标为y1?2 2
??y1?4?22y1?8???,再根据两点式求出直线AB方程?y?2?y12?4?x?2?y1?8?x?y??0,最后根据方程对 ， 2????y1?2?y1?2?应y1恒成立得定点?2 ， 2? 【解析】（Ⅰ）设点P的坐标为?x0 ， yy20?,则0?4x0, 所以,点P到直线l的距离
y20x?y0?2d?0?y0?2?4?2?2?422??y042?2. 2当且仅当y0?2时等号成立,此时P点坐标为?1 ， 2?. （Ⅱ）设点A的坐标为??y214 ， y??1??,显然y1?2. 当y1??2时,A点坐标为?1 ， ?2?,直线AP的方程为x?1； 当y??2时,直线AP的方程为
y?2?y1?2y2?x?1?11, 4?1化简得4x??y1?2?y?2y1?0；
综上,直线AP的方程为4x??y1?2?y?2y1?0. 与直线l的方程y?x?2联立,可得点Q的纵坐标为y2y1?8Q?y2. 1?因为,BQ∥x轴,所以B点的纵坐标为y2y1?8B?y. 1?2?因此,B点的坐标为??y1?4?22y1?8????y1?2?2 ， y?. 1?2??y?8当2y1?2y11?8y??y,即y2y1?24y1?811?8时,直线AB的斜率k??1?2y2?y2y211?4?1?8. 4??y1?2?2所以直线AB的方程为y?y?4y1?8?y21?1y2?x??,
1?8?4?整理得?y?2?y21?4?x?2?y1?8?x?y??0.
当x?2,y?2时,上式对任意y1恒成立,
3
2?, 此时,直线AB恒过定点?2 ， 2?, 当y12?8时,直线AB的方程为x?2,仍过定点?2 ， 2?. 故符合题意的直线AB恒过定点?2 ，考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系 【点评】 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．
【小试牛刀】【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是（1）求椭圆的方程； （2）过点
作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线
，当
时，
，即
，当
，
，即
过定点. ，
.
【解析】（1）对于
椭圆的方程为（2）证明：设直线
，
，（，，
，
）， ，则
，
设，两点的坐标分别为联立直线得
与椭圆得
，解得
，，
，
直线 ，
4