发布时间 : 星期一 文章高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.7更新完毕开始阅读
x2y2
(4)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径
ab的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若PQ=OF,则C的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.5 答案 A
ccx-?2+y2=,① 解析 如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为??2?4
2
将x2+y2=a2,② a2
①-②得x=,
c
则以OF为直径的圆与圆2
a2-
x2+y2=a2
a2
的相交弦所在直线的方程为x=,所以PQ=
c
?a?2. ?c?
a2-
2由PQ=OF,得2
?a?2=c, ?c?2整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0, 解得e=2,故选A.
思维升华 求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 c2a2+b2b2
①求a,b,c的值,由2=2=1+2直接求e.
aaa
②列出含有a,b,c的等式(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
c2-a2b
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系:k===aa
c2-1=a2
e2-1.
跟踪训练2 (1)(2019·汉中模拟)若双曲线的值是( ) A.2 B.2 C.1 D.4 答案 D 解析 双曲线
x2-
y2
=1(m>0)的焦点设为(c,0), m2x2-
y2
=1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4,则mm2
x2y2
当双曲线方程为2-2=1时,
ab
渐近线方程设为bx-ay=0,可得焦点到渐近线的距离 d=|bc|
=b, b2+a2
故由题意可得b=m=4.
x2y2
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线2-2=1(a>0,b>0)上一点,则其离心率的
ab取值范围是( ) A.(1,5) B.?1,
?
5?5
C.(5,+∞) D.?,+∞? 2??2?
答案 C
x2y214
解析 已知点(1,2)是双曲线2-2=1(a>0,b>0)上一点,得2-2=1,
ababb2
即2=b2+4, ac
所以e==
a
b21+2=b2+5>5,所以e>5. a
y2=4x
x2y2
的焦点为F,准线为l.若l与双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两
ab
(3)(2019·天津)已知抛物线
条渐近线分别交于点A和点B,且AB=4OF(O为原点),则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.5 答案 D
b
解析 由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x.将x=-1
abbb2b
代入y=±x,得y=±,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为.由AB=4OF可得=4,即b=2a,b2
aaaa=4a2,故双曲线的离心率
c
e==a
a2+b2
=5. a2
1.(2020·衡水质检)对于实数m,“1<m<2”是“方程x2y2
m-1+m-2=1表示双曲线”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案 C
x2y2
解析 若方程m-1+m-2=1表示双曲线,
则(m-1)(m-2)<0,得1<m<2,
则“1<m<2”是“方程x2m-1+y2
m-2=1表示双曲线”的充要条件.
2.(2019·北京)已知双曲线x2a
2-y2
=1(a>0)的离心率是5,则a等于( )
)
1
A.6 B.4 C.2 D.
2答案 D
x22
解析 由双曲线方程2-y=1,得b2=1,
a∴c2=a2+1. ∴5=e2=
c2a2+11=2=1+2. 2aaa
1
结合a>0,解得a=.
2
x2y2
3.已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为( )
abA.x±y=0 C.3x±y=0 答案 C
x2y2
解析 ∵双曲线的方程是2-2=1(a>0,b>0),
abb
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
ac
又∵离心率e==2,
a∴c=2a,∴b=c2-a2=3a. 由此可得双曲线的渐近线方程为y=±即3x±y=0.故选C.
x2y2π4.(2020·西南大学附中月考)已知双曲线2-=1(0<a<2)的两条渐近线的夹角为,则双曲
a23线的离心率为( ) 2326
A. B. C.3 D.2
33答案 D
2解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y=±x,
aπ
由两条渐近线夹角为,0<a<2,
3π
可知其中一条渐近线的倾斜角为,
3∴
2626=3,∴a=,c=a2+b2=, a33
3a
x=±3x, aB.x±3y=0 D.2x±y=0