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(4)在整个运动过程中,设△PEF的面积为S,直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值.

C C l

E

P

A B A B F

备用图 解:(1)3;

提示:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=62+82=10,∴sinB=

AC3BC4AC3

=,cosB==,tanB== AB5AB5BC4

C (P) E l

当点P与点E重合时,点P在CB边上,CP=CE

∵AC=6,点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位 ∴点P在AC边上运动的时间为2秒,CP=4(t-2)

44

∵CE=t,∴4(t-2)=t,解得t=3

33

当点P与点F重合时,点P在BA边上,BP=BF

∵AC=6,BC=8,点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位 ∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒,BF=BP=5(t-4)

A F B

44

∵CE=t,∴BE=8-t

33

C

在Rt△BEF中,

BE

=cosB BF

48-t

34

∴=,解得t= 5(t-4)5

l E A

(P) F B

(2)由题意,∠PEF=∠MEN ∵EF∥AC,∠C=90°,∴∠BEF=90°,∠CPE=∠PEF ∵EN⊥AB,∴∠B=∠MEN

∴∠CPE=∠B,∴tan∠CPE=tanB CEAC3

∵tan∠CPE=,tanB==

CPBC4

C P M A

F N E l

CE34

=,∴CP=CE CP43

B

4∵AP=3t(0<t<2),CE=t,∴CP=6-3t

3

4454

∴6-3t=×t,解得t=

3343

(3)连接PQ交EF于O

∵P、Q关于直线EF对称,∴EF垂直平分PQ 1

若四边形PEQF为菱形,则OE=OF=EF

2

①当点P在AC边上运动时

易知四边形POEC为矩形,∴OE=PC 1

∴PC=EF

2

C P O l E

4434

∵CE=t,∴BE=8-t,EF=BE·tanB=(8-t)=6-t

3343

Q

A

F B

16

∴6-3t=(6-t),解得t= 25

②当点P在CB边上运动时,P、E、Q三点共线,不存在四边形PEQF

③当点P在BA边上运动时,则点P在点B、F之间 4BE545

∵BE=8-t,∴BF= =(8-t)=10-t

3cosB433

520

∵BP=5(t-4),∴PF=BF-BP=10-t-5(t-4)=30-t

33

∵∠POF=∠BEF=90°,∴PO∥BE,∴∠OPF=∠B 在Rt△POF中,

C OF

=sinB PF

l

Q O A

F P

B E 1

(6-t)2330∴=,解得t=

205730-t

3

630

∴当t=或t=时,四边形PEQF为菱形

57

?

?4t12t24(2<t≤3)?34

(4)S=?3t12t24(3<t≤4)

?8t28t72(4<t≤)3?t28t72(<t≤6)?83

-t+4t(0≤t≤2)

2

3

2

2

-+

2

+-

2

-+

2

+-

S的最大值为

16 3

5.(北京模拟)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=10,CD=6,AD=BC=4.点P从点B出发,沿线段BA向点A匀速运动,速度为每秒2个单位,过点P作直线BC的垂线PE,垂足为E.设点P的运动时间为t(秒). (1)∠A=___________°;

(2)将△PBE沿直线PE翻折,得到△PB′E,记△PB′E与梯形ABCD重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;

(3)在整个运动过程中,是否存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

D C

B′

E

A P B 解:(1)60°

(2)∵∠A=∠B=60°,PB=PB′ ∴△PB′B是等边三角形

∴PB=PB′=BB′=2t,BE=B′E=t,PE=3t 当0<t≤2时

D

C A

备用图

B

113

S=S△PB′E=B′E·PE=t·3t=t2

222

D C B′ E

当2<t≤4时

333

S=S△PB′E-S△FB′C=t2-(2t-4)2=-t2+43t-43

242

A P B 当4<t≤5时

设PB′、PE分别交DC于点G、H,作GK⊥PH于K ∵△PB′B是等边三角形,∴∠B′PB=60°=∠A ∴PG∥AD,又DG∥AP

∴四边形APGD是平行四边形 ∴PG=AD=4

∵AB∥CD,∴∠GHP=∠BPH

B′ D F C E 1

∵∠GPH=∠BPH=∠B′PB=30°

2

A P B ∴∠GHP=∠GPH=30°,∴PG=GH=4 1

∴GK=PG=2,PK=KH=PG·cos30°=23

2

B′ ∴PH=2PK=43

11

∴S=S△PGH=PH·GK=×43×2=43

22

综上得,S与t之间的函数关系式为: 32

t(0<t≤2)2

D G K A P H E C ?S=??4

32 -t+43t-43(2<t≤4)2

B 3(4<t≤5)

(3)①若∠DPB′=90° ∵∠B′PB=60°,∴∠DPA=30° 又∠A=60°,∴∠ADP=90°

∴AP=2AD,∴10-2t=8,∴t=1 若∠PDB′=90°

D C B′

E

A P B

作DM⊥AB于M,DN⊥B′B于N

则AM=2,DM=23,NC=3,DN=33 PM=|10-2-2t|=|8-2t| NB′=|3+4-2t|=|7-2t|

DP 2=DM 2+PM 2=(23)2+(8-2t)2=(8-2t)2+12 DB′ 2=DN 2+NB′=(33)2+(7-2t)2=(7-2t)2+27 ∵DP 2+DB′ 2=B′P 2

∴(8-2t)2+12+(7-2t)2+27=(2t)2

N B′

D C E

解得t1=

15+7315-73>5(舍去),t2= 22

若∠DB′P=90°,则DB′ 2+B′P 2=DP 2

∴(7-2t)2+27+(2t)2=(8-2t)2+12 解得t1=-1(舍去),t2=0(舍去)

A M P B

∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形,此时t=1或t=

15-73

2

②若DP=B′P,则(8-2t)2+12=(2t)2

19

解得t=

8

D

B′ C E

D P

B

B′ C E

若B′D=B′P,则(7-2t)2+27=(2t)2

解得t=

A

若DP=DB′,则(8-2t)+12=(7-2t)+27 解得t=0(舍去)

19 7

22

∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为等腰三角形,此时t=

1919或t= 87

A P B

6.(北京模拟)已知二次函数y=-

32

mx+3mx-2的图象与x轴交于点A(23,0)、点B,3

与y轴交于点C. (1)求点B坐标;

(2)点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动,到达点O后停止运动,过点P作PQ∥AC交OA于点Q,将四边形PQAC沿PQ翻折,得到四边形PQA′C′,设点P的运动时间为t.

①当t为何值时,点A′恰好落在二次函数y=-

32

mx+3mx-2图象的对称轴上; 3

②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出S的最大值.

解:(1)将A(23,0)代入y=-

32

mx+3mx-2 3

得0=-

33m×(23)2+3m×23-2,解得m= 33

1

∴y=-x2+3x-2

3