发布时间 : 星期一 文章全国各地中考数学压轴题集锦答案更新完毕开始阅读
(4)在整个运动过程中,设△PEF的面积为S,直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值.
C C l
E
P
A B A B F
备用图 解:(1)3;
提示:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=62+82=10,∴sinB=
AC3BC4AC3
=,cosB==,tanB== AB5AB5BC4
C (P) E l
当点P与点E重合时,点P在CB边上,CP=CE
∵AC=6,点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位 ∴点P在AC边上运动的时间为2秒,CP=4(t-2)
44
∵CE=t,∴4(t-2)=t,解得t=3
33
当点P与点F重合时,点P在BA边上,BP=BF
∵AC=6,BC=8,点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位 ∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒,BF=BP=5(t-4)
A F B
44
∵CE=t,∴BE=8-t
33
C
在Rt△BEF中,
BE
=cosB BF
48-t
34
∴=,解得t= 5(t-4)5
l E A
(P) F B
(2)由题意,∠PEF=∠MEN ∵EF∥AC,∠C=90°,∴∠BEF=90°,∠CPE=∠PEF ∵EN⊥AB,∴∠B=∠MEN
∴∠CPE=∠B,∴tan∠CPE=tanB CEAC3
∵tan∠CPE=,tanB==
CPBC4
C P M A
F N E l
∴
CE34
=,∴CP=CE CP43
B
4∵AP=3t(0<t<2),CE=t,∴CP=6-3t
3
4454
∴6-3t=×t,解得t=
3343
(3)连接PQ交EF于O
∵P、Q关于直线EF对称,∴EF垂直平分PQ 1
若四边形PEQF为菱形,则OE=OF=EF
2
①当点P在AC边上运动时
易知四边形POEC为矩形,∴OE=PC 1
∴PC=EF
2
C P O l E
4434
∵CE=t,∴BE=8-t,EF=BE·tanB=(8-t)=6-t
3343
Q
A
F B
16
∴6-3t=(6-t),解得t= 25
②当点P在CB边上运动时,P、E、Q三点共线,不存在四边形PEQF
③当点P在BA边上运动时,则点P在点B、F之间 4BE545
∵BE=8-t,∴BF= =(8-t)=10-t
3cosB433
520
∵BP=5(t-4),∴PF=BF-BP=10-t-5(t-4)=30-t
33
∵∠POF=∠BEF=90°,∴PO∥BE,∴∠OPF=∠B 在Rt△POF中,
C OF
=sinB PF
l
Q O A
F P
B E 1
(6-t)2330∴=,解得t=
205730-t
3
630
∴当t=或t=时,四边形PEQF为菱形
57
?
?4t12t24(2<t≤3)?34
(4)S=?3t12t24(3<t≤4)
?8t28t72(4<t≤)3?t28t72(<t≤6)?83
-t+4t(0≤t≤2)
2
3
2
2
-+
-
2
+-
2
-+
-
2
+-
S的最大值为
16 3
5.(北京模拟)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=10,CD=6,AD=BC=4.点P从点B出发,沿线段BA向点A匀速运动,速度为每秒2个单位,过点P作直线BC的垂线PE,垂足为E.设点P的运动时间为t(秒). (1)∠A=___________°;
(2)将△PBE沿直线PE翻折,得到△PB′E,记△PB′E与梯形ABCD重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)在整个运动过程中,是否存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
D C
B′
E
A P B 解:(1)60°
(2)∵∠A=∠B=60°,PB=PB′ ∴△PB′B是等边三角形
∴PB=PB′=BB′=2t,BE=B′E=t,PE=3t 当0<t≤2时
D
C A
备用图
B
113
S=S△PB′E=B′E·PE=t·3t=t2
222
D C B′ E
当2<t≤4时
333
S=S△PB′E-S△FB′C=t2-(2t-4)2=-t2+43t-43
242
A P B 当4<t≤5时
设PB′、PE分别交DC于点G、H,作GK⊥PH于K ∵△PB′B是等边三角形,∴∠B′PB=60°=∠A ∴PG∥AD,又DG∥AP
∴四边形APGD是平行四边形 ∴PG=AD=4
∵AB∥CD,∴∠GHP=∠BPH
B′ D F C E 1
∵∠GPH=∠BPH=∠B′PB=30°
2
A P B ∴∠GHP=∠GPH=30°,∴PG=GH=4 1
∴GK=PG=2,PK=KH=PG·cos30°=23
2
B′ ∴PH=2PK=43
11
∴S=S△PGH=PH·GK=×43×2=43
22
综上得,S与t之间的函数关系式为: 32
t(0<t≤2)2
D G K A P H E C ?S=??4
32 -t+43t-43(2<t≤4)2
B 3(4<t≤5)
(3)①若∠DPB′=90° ∵∠B′PB=60°,∴∠DPA=30° 又∠A=60°,∴∠ADP=90°
∴AP=2AD,∴10-2t=8,∴t=1 若∠PDB′=90°
D C B′
E
A P B
作DM⊥AB于M,DN⊥B′B于N
则AM=2,DM=23,NC=3,DN=33 PM=|10-2-2t|=|8-2t| NB′=|3+4-2t|=|7-2t|
DP 2=DM 2+PM 2=(23)2+(8-2t)2=(8-2t)2+12 DB′ 2=DN 2+NB′=(33)2+(7-2t)2=(7-2t)2+27 ∵DP 2+DB′ 2=B′P 2
∴(8-2t)2+12+(7-2t)2+27=(2t)2
N B′
D C E
解得t1=
15+7315-73>5(舍去),t2= 22
若∠DB′P=90°,则DB′ 2+B′P 2=DP 2
∴(7-2t)2+27+(2t)2=(8-2t)2+12 解得t1=-1(舍去),t2=0(舍去)
A M P B
∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形,此时t=1或t=
15-73
2
②若DP=B′P,则(8-2t)2+12=(2t)2
19
解得t=
8
D
B′ C E
D P
B
B′ C E
若B′D=B′P,则(7-2t)2+27=(2t)2
解得t=
A
若DP=DB′,则(8-2t)+12=(7-2t)+27 解得t=0(舍去)
19 7
22
∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为等腰三角形,此时t=
1919或t= 87
A P B
6.(北京模拟)已知二次函数y=-
32
mx+3mx-2的图象与x轴交于点A(23,0)、点B,3
与y轴交于点C. (1)求点B坐标;
(2)点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动,到达点O后停止运动,过点P作PQ∥AC交OA于点Q,将四边形PQAC沿PQ翻折,得到四边形PQA′C′,设点P的运动时间为t.
①当t为何值时,点A′恰好落在二次函数y=-
32
mx+3mx-2图象的对称轴上; 3
②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出S的最大值.
解:(1)将A(23,0)代入y=-
32
mx+3mx-2 3
得0=-
33m×(23)2+3m×23-2,解得m= 33
1
∴y=-x2+3x-2
3