发布时间 : 星期六 文章2019年高考数学真题分类汇编专题17：空间几何（综合题含解析）更新完毕开始阅读
平面
，
（Ⅱ）证明：取棱 平面
平面 ，
（Ⅲ）解：连接 因为 在
的中点 ，连接 .依题意，得 平面
，交 . ，可知 的中点，所以
，又因为平面 平面
，故
，所以 ，所以
，由（Ⅱ）中
.又已知
平面 平面 且 .
为
为直线 与平面 .又
所成的角， ，
为等边三角形， 中，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（Ⅰ）欲证 面
平面
，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证
，即可证得；
与平面
内两相交
，再 与平
内一直线平行，由三角形中位线可得
平面
（Ⅱ））欲证 直线垂直，由平面 由 （Ⅲ）连接 角形，求出
，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 平面
平面
，
； ，可知
与平面
为直线
与平面
，得出
平面
，进而得出
，即可证得
，构造直角三角形 所成的角，解直角三
的大小，即可得出直线 所成的角。
的方向为 轴， 轴，
4.【答案】 解：依题意，可以建立以 为原点，分别以 轴正方向的空间直角坐标系（如图），
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，则 ，可得
. ，又
可得
（Ⅰ）证明：依题意， 因为直线
平面
，所以
是平面
， .设
的法向量，又 .
.
平面
（Ⅱ）依题意， 设
为平面
的法向量，则
即
不妨令 ，
可得 .因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（Ⅲ）设 为平面 的法向量，则 即
不妨令 ，可得 .
由题意，有 ，解得 .经检验，符合题意.
所以，线段 的长为
【考点】用向量证明平行，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】本题主要考查空间向量的应用，直线与平面平行判定定理、二面角、直线与平面所成的角等知识。 （Ⅰ）欲证 法向量，又 （Ⅱ）要求直线 弦值即可。 （Ⅲ）设出平面
的法向量
，根据
求出
，再根据
平面
，需证出 ，可得 与平面
与平面
的法向量垂直，由
平面 与平面
；
的法向量所成的角的余
是平面
的
，进而得出
所成角的正弦值，只要找出
，求出线段CF的长。
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5.【答案】 （1）解：由已知得AD BE ， CG BE ， 所以AD CG ， 故AD ， CG确定一个平面，从而A ， C ， G ， D四点共面．
由已知得AB BE ， AB BC ， 故AB 平面BCGE ． 又因为AB 平面ABC ， 所以平面ABC 平面BCGE ． （2）取CG的中点M ， 连结EM ， DM.
因为AB//DE ， AB 平面BCGE，所以DE 平面BCGE ， 故DE CG. 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM CG ， 故CG 平面DEM. 因此DM CG. 在
DEM中，DE=1，EM=
，故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
【考点】直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由已知可证AD CG ， 得到AD ， CG确定一个平面，即可证明结论；（2） 得DE CG ， 又可证CG 平面DEM ， 得DM CG ， 先作辅助线，可证DE 平面BCGE ，利用勾股定理得到DM=2，即可求出四边形ACGD的面积.
6.【答案】 （1）解：由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE． 又因为AB 平面ABC，所以平面ABC 平面BCGE．
（2）作EH BC，垂足为H．因为EH 平面BCGE，平面BCGE 平面ABC，所以EH 平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠ EBC=60°，可求得BH=1，EH= 以H为坐标原点，
．
的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，
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则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0， 设平面ACGD的法向量为 =（x，y，z），则
即
）， =（1，0， ）， =（2，–1，0）．
所以可取 =（3，6，– ）．
=（0，1，0），所以
．
又平面BCGE的法向量可取为
因此二面角B–CG–A的大小为30°．
【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由已知可证AD CG，得到AD，CG确定一个平面，即可证明结论；（2）先作辅助线，可证EH 平面ABC，再建立空间直角坐标系，求出平面ACGD与平面BCGE的法向量，代入向量的夹角公式，即可求出二面角B–CG–A的大小.
7.【答案】 （1）解：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1 ， BE 平面ABB1A1 ， 故 又
.
，所以BE⊥平面
.
，故
.由题设知Rt△ ABE≌ Rt△ A1B1E，所以 （2）由（1）知∠BEB1=90°
AE=AB=3， .
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