发布时间 : 星期六 文章2019年高考数学真题分类汇编专题17：空间几何（综合题含解析）更新完毕开始阅读
（I）求证：CD⊥平面PAD； （II）求二面角F-AE-P的余弦值； （III）设点G在PB上，且
.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。11.（2019?卷Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，M，N分别是BC，BB1 ， A1D的中点
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离。
12.（2019?卷Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，M，N分别是BC，BB1 ， A1D的中点
BAD=60°，E，
BAD=60°，E，
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（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值。
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答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）证明：因为D ， E分别为BC ， AC的中点， 所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1 ， 所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1 ， A1B1 所以A1B1∥平面DEC1.
（2）解：因为AB=BC ， E为AC的中点，所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE?平面ABC ， 所以CC1⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1 ， AC?平面A1ACC1 ， C1C∩AC=C ， 所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1 ， 所以BE⊥C1E.
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用直三棱柱的结构特征结合中点的性质，用中位线证出线线平行，从而证出线面平行。
（2）因为AB=BC ， E为AC的中点，所以BE⊥AC ， 再结合直三棱柱的结构特征证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直。
2.【答案】 （1）连接A1E ， 因为A1A=A1C ， E是AC的中点，所以A1E⊥ AC.
平面
DEC1 ，
又平面A1ACC1⊥平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC ，
所以，A1E⊥ 平面ABC ， 则A1E⊥ BC. 又因为A1F∥AB ， ∠ABC=90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥ BC.
（2）取BC中点G ， 连接EG ， GF ， 则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC ， 故AE1⊥EG ， 所以平行四边形EGFA1为矩形．
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由（I）得BC⊥平面EGFA1 ， 则平面A1BC⊥平面EGFA1 ， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O ， 则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）. 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 由于O为A1G的中点，故
，EG=
，
.
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
方法二：
连接A1E ， 因为A1A=A1C ， E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC ， 所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC ， EA1为y ， z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则 A1（0，0，2
），B（
，1，0），
，
，C(0，2，0).
因此， ， ．
由 得 ．
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2） 通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可. 3. 解：【答案】（Ⅰ）证明：连接 又因为
平面
，
，易知 平面
，所以
， 平面
.又由 .
，故
，
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