发布时间 : 星期六 文章2020版高考理科数学突破二轮复习新课标 教师用书：第3讲 练典型习题 提数学素养(3)更新完毕开始阅读
(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时，求二面角A-PE-C的余弦值．
解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O， 因为AB∥CE，AB＝CE，所以四边形ABCE为平行四边形， 所以AE＝BC＝AD＝DE，所以△ADE为等边三角形， π
所以在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC，
3所以BD⊥AE.
翻折后可得OP⊥AE，OB⊥AE，
又OP?平面POB，OB?平面POB，OP∩OB＝O，所以AE⊥平面POB， 因为PB?平面POB，所以AE⊥PB.
(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.
又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO?平面PAE，PO⊥AE，所以OP⊥平面ABCE. 以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，P?0，0，?
13?3→，0，0?，C?1，，0?，所以PE，E??2??2?2?
1313→
＝?，0，－?，EC＝?，，0?，设平面PCE的法向量为n1＝(x，y，z)，
2??2?22?
→??2x－2z＝0n1＝0?PE·
则?，即?，设x＝3，则y＝－1，z＝1，所以n1＝(3，－1，1)
→13?n1＝0?EC·x＋?22y＝0为平面PCE的一个法向量，
易知平面PAE的一个法向量为n2＝(0，1，0)，
1
3
n1·n2－15
cos〈n1，n2〉＝＝＝－. |n1||n2|1×55
由图知所求二面角A-PE-C为钝角，所以二面角A-PE-C的余弦值为－
[B组 大题增分专练]
1．(2019·高考浙江卷)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
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. 5
解：法一：(1)证明：如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.
(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
连接A1G交EF于O，由(1)得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上． 则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．
不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝23，EG＝3. A1G15
由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝＝，
22EO2＋OG2－EG23
所以cos∠EOG＝＝. 52EO·OG
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因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
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法二：(1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点， 所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.
不妨设AC＝4，则A1(0，0，23)，B(3，1，0)， B1(3，3，23)，F(
33
，，23)，C(0，2，0)． 22
33→→
因此，EF＝?，，23?，BC＝(－3，1，0)．
?22?→→
由EF·BC＝0得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.
→→
由(1)可得BC＝(－3，1，0)，A1C＝(0，2，－23)． 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)． →?n＝0，??BC·?－3x＋y＝0，由?得?
→??y－3z＝0.?A1C·n＝0，?取n＝(1，3，1)故
→|EF·n|4→
sin θ＝|cos〈EF，n〉|＝＝.
5→
|EF|·|n|
3
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
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2．(2019·长沙市统一模拟考试)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝90°，AD＝3，BE＝3，CF＝4，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？
解：因为平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC＝BC，DC?平面ABCD，且DC⊥BC，所以DC⊥平面BEFC.
以点C为坐标原点，分别以CB，CF，CD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
设AB＝a，则C(0，0，0)，A(3，0，a)，B(3，0，0)，E(3，3，0)，F(0，4，0)，D(0，0，a)．
→→→→
(1)证明：因为AE＝(0，3，－a)，CB＝(3，0，0)，CF＝(0，4，0)，CD＝(0，0，a)， →→→→所以CB·CD＝0，CB·CF＝0，又CD∩CF＝C，
→
所以CB⊥平面CDF，即CB为平面CDF的一个法向量． →→又CB·AE＝0，所以CB⊥AE，又AE?平面CDF， 所以AE∥平面DCF.