发布时间 : 星期五 文章2021高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第四节万有引力定律及其应用学案新人教版更新完毕开始阅读
角速度 ω1＝ω自 ω2＝ω1＝ω3＜ω2 GM R3ω3＝错误! v3＝ω3(Rv1＝ω1R v2＝GM R＋h)＝ 线速度 GM R＋hv1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度) a3＝ω23(Ra2＝ω22R＝ 向心加速度 ＋h) ＝a1＝ω21R GM R2GM2 （R＋h）a1＜a3＜a2 典例 (2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
[思维点拨] 根据万有引力提供向心力得到周期的表达式，然后根据周期与半径的关系即可求解．
Mm4π2
解析：卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G2＝m2R，则
RTT＝4πRTP，＝GMTQ23R38P3＝，选项C正确． RQ1
答案：C
2
Mmv24πr2
1．卫星运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G2＝m＝mrω＝m2＝man.
rrT2．解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动关系的桥梁还是牛顿第二定律．
(1)卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．
(2)an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．
1.(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则( )
A．T卫＜T月 B．T卫＞T月 C．T卫＜T地
D．T卫＝T地
解析：设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r卫、r同和r月，
r3
因r月＞r同＞r卫，由开普勒第三定律2＝k，可知T月＞T同＞T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，
T故有T月＞T地＞T卫，选项A、C正确．
答案：AC
2.如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点．下列说法中正确的是( )
A．卫星在A点的角速度大于B点的角速度 B．卫星在A点的加速度小于B点的加速度 C．卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加 D．卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大
解析：由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝知，卫星在A点的角速度小于B点的角速度，选项A错误；设卫星的质量为m，地球的质量为M，卫星的轨道半径为r，由万有引力定律得G2＝θtmMrGMma，解得a＝2，由此可知，r越大，加速度越小，故卫星在A点的加速度小于B点的加速度，
r选项B正确；卫星由A运动到B的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C错误；卫星由A运动到B的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D错误．
答案：B
3．(2019·惠州模拟)假设地球为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极处大小为g0、在赤道处大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为( )
A．2πRg0＋g B．2π
Rg0－g
C．2π答案：B
g0＋g D．2πRg0－g R4.如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷．如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析：设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万
ρ·πr3·m有引力F＝G·
答案：D
43
r2
4F4
＝πGρmr，此处的重力加速度a＝＝πGρr，故选项D正确． 3m3
5．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．某潜艇下潜深度为d，某近地卫星轨道距离地面高度为h，则此潜艇所在处与此近地卫星所在处的加速度之比为( )
2
R－d（R－d）A. B.2 R＋h（R＋h）
C.
（R－d）（R＋h）
2
R3
（R－d）（R＋h）
D. 2
R解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等有g＝G2.MR4GM3
由于地球的质量为M＝ρ·πR，所以重力加速度的表达式可写成g＝2＝3RG·ρπR3
R2
4
3
＝
43
πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故潜艇的重力加4g′R－dMm速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G近地2＝ma，
3gR（R＋h）
GMaR2g′（R－d）（R＋h）2
卫星的加速度为a＝，＝，故C正确，A、2，所以＝（R＋h）g（R＋h）2aR3B、D错误．
答案：C
6．(2019·乐山一调)一卫星绕某行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
mv2mv4A. B. GFGFFv2Fv4C. D. GmGm答案：B
7．(2017·北京卷)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
解析：根据G2＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量；根据GMmRMmR2
mv22πR＝及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地RTMm4π2球的质量；根据G2＝m2r，可知已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，
rT可计算出地球的质量；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量．故选D.
答案：D
8．(2019·济南模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( )
月球半径 月球表面处的重力加速度 地球和月球的半径之比 地球表面和月球表面的重力加速度之比 A.3∶2 B．2∶3 C．4∶1 D．6∶1
R0 g0 R＝4 R0g＝6 g0MmgR2
解析：在星球表面附近，万有引力近似等于重力，即G2＝mg，解得星球质量M＝.RGM地gR296M43
地球和月球的质量之比＝·2＝，由密度公式ρ＝，体积公式V＝πR，联立解得地
M月g0R01V3ρ地M地R330
球和月球的密度之比＝·3＝. ρ月M月R2
答案：A