发布时间 : 星期五 文章(全国通用)2015届高三物理复习能力提升__第4章_第4课时_万有引力与航天更新完毕开始阅读
点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面高度为h， 地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”飞行几周后进 行变轨，进入预定圆轨道，如图5所示．已知“天宫一号”在预
图5
定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，万有引力常量为G，地球半径为R.则下列说法正确的是
( )
A．“天宫一号”在椭圆轨道的B点的向心加速度大于在预定圆轨道的B点的向心加速度 B．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，机械能守恒 C．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能先减小后增大
R＋h34π2n2
D．由题中给出的信息可以计算出地球的质量M＝
Gt2
答案 BD 解析 在B点，由
GMm＝ma知，无论在哪个轨道上的B点，其向心加速度相同，A项错；“天宫一号”r2
在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B项对；“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B运行中，动能
Mm一直减小，C项错；对“天宫一号”在预定圆轨道上运行，有GR＋hR＋h34π2n2
M＝，D项对．
Gt2
考点四 宇宙速度的理解与计算
4πt2＝m(R＋h)2，而T＝，故
2
Tn1．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度． 2．第一宇宙速度的求法：
2
GMmv1
(1)2＝m，所以v1＝
RRGM. R2mv1
(2)mg＝，所以v1＝gR.
R3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．
例5 2012年6月16日，“神舟九号”宇宙飞船搭载3名航天员飞天，并于6月18日14∶00与“天宫一号”成功对接．在发射时，“神舟九号”宇宙飞船首先要发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运行．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为
g.求：
(1)地球的第一宇宙速度；
(2)“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比．
Mmv2
解析 (1)设地球的第一宇宙速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G2＝m RR在地面附近G2＝mg
MmR 13
联立解得v＝gR.
(2)根据题意可知，设“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度为v1
v1＝v＝gR
Mm对接后，整体的运行速度为v2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得GR＋hgR2
，所以v1∶v2＝ R＋h答案 (1)gR (2) 2v2
，解得v2＝ 2＝mR＋hR＋h. RR＋h R突破训练5 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 A.
B.
C.
( )
D.
2Rh
t2Rh
tRh tRh 2t答案 B
解析 设在月球表面处的重力加速度为g 122h则h＝gt，所以g＝2
2t飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有
v2
mg＝m
R所以v＝gR＝
2hR2Rh＝，选项B正确. 2
tt
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21．双星系统模型问题的分析与计算 1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等； (3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L. 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
例6 如图6所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力 作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的 距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在
O的两侧．引力常量为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
图6
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×10 kg和7.35×10 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
解析 (1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有：F＝G由匀速圆周运动的规律得
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22
MmR＋r2
①
F＝m(
2π2
)r T ②
15
F＝M(
2π2
)R T
③ ④ ⑤
由题意有L＝R＋r 联立①②③④式得T＝2π
L3
GM＋m(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在 地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
T1＝2π
L′3
GM′＋m′
⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
GM′m′2π2
)L′ 2＝m′(
L′T2
⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得
T2＝2π
L′3
GM′T2T1
2
⑧
由⑥⑧式得()＝1＋
m′ M′
代入题给数据得()＝1.012
T2T1
2
答案 (1)2π
L3
(2)1.012
GM＋m突破训练6 (2012·重庆·18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( ) 1
A．轨道半径约为卡戎的 71
B．角速度大小约为卡戎的 7C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A
解析 本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由Gm1m222
2＝m1ωr1＝m2ωr2(L为两星间的距离)，Lr1m21v1ωr1m21因此＝＝，＝＝＝，故A对，C错．
r2m17v2ωr2m17
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