发布时间 : 星期日 文章2019届二轮（文科数学） 选考部分(选修4-4、选修4-5) 专题卷（全国通用）更新完毕开始阅读
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.
4．(2017·全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
π??
(2)设点A的极坐标为?2，3?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
??[解] (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos θ. 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 π??1??
?sin?α－3?? S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
2????π???3?
＝2?sin?2α－?－?≤2＋3.
3?2???π
当α＝－12时，S取得最大值2＋3. 所以△OAB面积的最大值为2＋3. (2017·全国卷Ⅱ)[选修4－5：不等式选讲]
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已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
[证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) 3?a＋b?23?a＋b?3
≤2＋(a＋b)＝2＋，
44所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
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