发布时间 : 星期日 文章2019届二轮(文科数学) 选考部分(选修4-4、选修4-5) 专题卷(全国通用)更新完毕开始阅读
(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,因此a+b的最小值为5.
4.(2017·全国卷Ⅱ)[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
π??
(2)设点A的极坐标为?2,3?,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
??[解] (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 4
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=cos θ. 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 π??1??
?sin?α-3?? S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·
2????π???3?
=2?sin?2α-?-?≤2+3.
3?2???π
当α=-12时,S取得最大值2+3. 所以△OAB面积的最大值为2+3. (2017·全国卷Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲]
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已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2.
[证明] (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b) 3?a+b?23?a+b?3
≤2+(a+b)=2+,
44所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
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