发布时间 : 星期二 文章十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析更新完毕开始阅读
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(3)因为a=0,c=1,
所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3
-(b+1)x2
+bx,f'(x)=3x2
-2(b+1)x+b. 因为0 所以Δ=4(b+1)2 -12b=(2b-1)2+3>0, 则f'(x)有2个不同的零点, 设为x1,x2(x1 由f'(x)=0,得x1=,x2=. 列表如下 x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (解法一) M=f(x1)=-(b+1)+bx1=[3-2(b+1)x1+b]x1+ =)3 =)3 ≤. 因此M≤. (解法二) 因为0 当x∈(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2 . 令g(x)=x(x-1)2 ,x∈(0,1), 则g'(x)=3(x-1). 名师精心整理 助您一臂之力 21 名师精心整理 助您一臂之力 令g'(x)=0,得x=. 列表如下: x g'(x) g(x) + ↗ 0 极大值 - ↘ 所以当x=时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g. 所以当x∈(0,1)时,f(x)≤g(x)≤. 因此M≤. 50.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x-ax+b. (1)讨论f(x)的单调性; (2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)f'(x)=6x-2ax=2x(3x-a). 2 3 2 令f'(x)=0,得x=0或x=. 若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减; 若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0; 名师精心整理 助您一臂之力 22 名师精心整理 助您一臂之力 当x∈时,f'(x)<0. 故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减. (2)满足题设条件的a,b存在. (ⅰ)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1. (ⅱ)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1. (ⅲ)当0 若-+b=-1,b=1,则a=3,与0 若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0 综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1. 51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=ecos x,g(x)为f(x)的导函数. (1)求f(x)的单调区间; (2)当x∈ 时,证明f(x)+g(x) -x≥0; x (3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+,2nπ+ x 内的零点,其中n∈N,证明2nπ+-xn<. 【解析】(1)由已知,有f'(x)=e(cos x-sin x).因此,当x∈2kπ+,2kπ+得f'(x)<0,则f(x)单调递减; 当x∈2kπ-,2kπ+ (k∈Z)时,有sin x>cos x, (k∈Z)时,有sin x (k∈Z),f(x)的单调递减区间为2kπ+,2kπ+ (k∈Z). 所以,f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(2)证明记h(x)=f(x)+g(x) -x. 依题意及(1),有g(x)=ex(cos x-sin x),从而g'(x)=-2exsin x. 名师精心整理 助您一臂之力 23 名师精心整理 助您一臂之力 当x∈时,g'(x)<0, -x+g(x)(-1)=g'(x) -x<0. =f =0. 故h'(x)=f'(x)+g'(x)因此,h(x)在区间所以,当x∈ 上单调递减,进而h(x)≥h时,f(x)+g(x) -x≥0. (3)证明依题意,u(xn)=f(xn)-1=0,即(xn-2nπ)=e -2nπ cos xn=1.记yn=xn-2nπ,则yn∈,且f(yn)=cos yn=cos (n∈N). 由f(yn)=e-2nπ≤1=f(y0)及(1),得yn≥y0. 由(2)知,当x∈因此g(yn)≤g(y0) 时,g'(x)<0,所以g(x)在=0. -yn≥0, 上为减函数, 故-yn≤-=-≤-. 所以,2nπ+-xn<. 52.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明: (1)f'(x)在区间存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 【解析】(1)设g(x)=f'(x), 则g(x)=cos x-,g'(x)=-sin x+. 当x∈时,g'(x)单调递减, 而g'(0)>0,g'<0, 可得g'(x)在区间 名师精心整理 助您一臂之力 内有唯一零点,设为α. 24