发布时间 : 星期三 文章十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析更新完毕开始阅读
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=e·3
x-x
<0,
∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;
对③,设g(x)=e·x,则g'(x)=e·x(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0, ∴g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质; 对④,设g(x)=e(x+2),则g'(x)=e(x+2x+2),∵x+2x+2=(x+1)+1>0, ∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.
x
2
x
2
2
2
x
3
x
2
36.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x-2x+e-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a)≤0,则实数a的取值范围是 .
3x2
【答案】
【解析】因为
2
x
-x
2
f(-x)=(-x)-2(-x)+e-
3-x
=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为
f'(x)=3x-2+e+e≥3x-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为
f(a-1)+f(2a)≤0可化为f(2a)≤-f(a-1),即f(2a)≤f(1-a),所以2a≤1-a,2a+a-1≤0,解得-1≤a≤,
22222
故实数a的取值范围是.
37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 【答案】1-ln 2
【解析】设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b),(x2,kx2+b),由导数的几何意
义,可得k=,得x1=x2+1.
又切点也在各自曲线上,所以
所以
从而由kx1+b=ln x1+2,代入解得b=1-ln 2.
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38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= . 【答案】1
【解析】∵f'(x)=3ax+1,∴f'(1)=3a+1, 即切线斜率k=3a+1.
又f(1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).
2
3
而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.
2
39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则a= . 【答案】8
【解析】∵y'=1+,∴k=y'|x=1=2, ∴切线方程为y=2x-1.
由y=2x-1与y=ax+(a+2)x+1联立,得ax+ax+2=0,再由相切知Δ=a-8a=0,解得a=0或a=8. ∵当a=0时,y=ax+(a+2)x+1并非曲线而是直线,∴a=0舍去,故a=8.
22
2
2
40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . 【答案】(1,1)
x
【解析】曲线y=e在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e|x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P处的
xx
切线与曲线y=e在点(0,1)处的切线垂直,故-=-1,解得xP=1,由y=,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1). 41.(2015·天津,理11)曲线y=x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为______________.
2
x
2
【解析】函数y=x与y=x的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.
由
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故所求面积S=(x-x)dx=
2
.
42.(2015·陕西·理T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【答案】1.2 【解析】
43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),By=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________________.
,C(1,0).函数
【答案】
【解析】由题意f(x)=
则xf(x)=∴
xf(x)
与
x
轴
围
成
图
形
的
面
积
为
10xdx+
2
(-10x+10x)dx=x
23
.
44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 . 【答案】4x-y-3=0
【解析】因为y'=3ln x+4,故y'|x=1=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.
45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=
与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=.
2
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【答案】
【解析】由题意可得曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积S=dx==a,解得
2
a=.
46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x-ax+2. (1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0 2 3 2 令f'(x)=0,得x=0或x=. 若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减; 若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0. 故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.