发布时间 : 星期六 文章十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析更新完毕开始阅读
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答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 68.(2017·全国3·理T21)已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n, 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞). ① 若a≤0,因为f=-+aln 2<0,所以不满足题意; ②若a>0,由f'(x)=1-知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增. 故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点. 由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0. 故a=1. (2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0. 令x=1+得ln. 从而ln+ln+…+ln+…+=1-<1. 故 而>2,所以m的最小值为3. 69.(2017·全国2·文T21)设函数f(x)=(1-x2 )ex . (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 【解析】(1)f'(x)=(1-2x-x2 )ex . 令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+ . 名师精心整理 助您一臂之力 41 名师精心整理 助您一臂之力 当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0; 当x∈(-1-,-1+ )时,f'(x)>0; 当x∈(-1+ ,+∞)时,f'(x)<0. 所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+ ,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex . 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex ,h'(x)=-xex <0(x>0), 因此h(x)在[0,+∞)内单调递减, 而h(0)=1,故h(x)≤1, 所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 当0 -x-1,g'(x)=ex -1>0(x>0), 所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0, 故ex ≥x+1. 当0 ),取 x0=,则(0,1),(1-x2 0)(1+x0)-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1. 当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2 =1≥ax0+1. 综上,a的取值范围是[1,+∞). 70.(2017·天津·文T19)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3 -6x2 -3a(a-4)x+b,g(x)=ex f(x). (1)求f(x)的单调区间; (2)已知函数y=g(x)和y=ex 的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, ①求证:f(x)在x=x0处的导数等于0; ②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 【解析】(1)解由f(x)=x3 -6x2-3a(a-4)x+b, 可得f'(x)=3x2 -12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)]. 令f'(x)=0,解得x=a或x=4-a. 由|a|≤1,得a<4-a. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 名师精心整理 助您一臂之力 x0∈ 42 名师精心整理 助您一臂之力 x (-∞,a) (a,4-a) (4-a,+∞) f'(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ 所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a). (2)①证明因为g'(x)=ex (f(x)+f'(x)), 由题意知 所以解得 所以,f(x)在x=x0处的导数等于0. ②解因为g(x)≤ex ,x∈[x0-1,x0+1], 由ex >0,可得f(x)≤1. 又因为f(x0)=1,f'(x0)=0. 故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a. 另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a, 由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减, 故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立, 从而g(x)≤ex 在[x0-1,x0+1]上恒成立. 由f(a)=a3 -6a2 -3a(a-4)a+b=1,得b=2a3 -6a2 +1,-1≤a≤1. 令t(x)=2x3 -6x2 +1,x∈[-1,1], 所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0. 因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域为[-7,1]. 所以,b的取值范围是[-7,1]. 71.(2017·全国3·文T21)已知函数f(x)=ln x+ax2 +(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a<0时,证明f(x)≤--2. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=. 名师精心整理 助您一臂之力 43 名师精心整理 助您一臂之力 若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增. 若a<0,则当x∈时,f'(x)>0; 当x∈故f(x)在0,- 时,f'(x)<0. 单调递增,在-,+∞单调递减. (2)由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-. 所以f(x)≤--2等价于ln设g(x)=ln x-x+1, -1-≤--2,即ln+1≤0. 则g'(x)=-1. 当x∈(0,1)时,g'(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减. 故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0. 所以当x>0时,g(x)≤0. 从而当a<0时,ln+1≤0, 即f(x)≤--2. 72.(2017·天津·理T20)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x+3x-3x-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数. (1)求g(x)的单调区间; (2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)<0; 4 3 2 (3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足【解析】(1)由f(x)=2x+3x-3x-6x+a, 4 3 2 . 名师精心整理 助您一臂之力 44