发布时间 : 星期二 文章人教版2020高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理(1)学案 苏教版选修1-2更新完毕开始阅读
二、能力提升
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
2S，
a＋b＋c类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝________. 答案
3V
S1＋S2＋S3＋S4
解析
设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O1
为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋
3
S2＋S3＋S4)R，∴R＝
3V. S1＋S2＋S3＋S4
9．观察分析下表中的数据：
多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________． 答案 F＋V－E＝2
解析 观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2. 10．观察下列等式：
1＝1 1－2＝－3 1－2＋3＝6 1－2＋3－4＝－10 …
照此规律，第n个等式可为
________________________________________________________________________． 答案 1－2＋3－…＋(－1)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n－12
(－1)n＝
2
n＋1
n(n＋1)
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解析 分n为奇数、偶数两种情况．
当n为偶数时，分组求和：(1－2)＋(3－4)＋…＋[(n－1)－n]＝－当n为奇数时，第n个等式＝－
2
2
22
2
2
2
2
2
n(n＋1)
2
.
n(n－1)
2
＋n＝2
n(n＋1)
2
. n＋1
综上，第n个等式：1－2＋3－…＋(－1)
n－12
(－1)n＝
2
n(n＋1)．
11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin13°＋cos17°－sin13°cos17°； ②sin15°＋cos15°－sin15°cos15°； ③sin18°＋cos12°－sin18°cos12°； ④sin(－18°)＋cos48°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin(－25°)＋cos55°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：
122
sin15°＋cos15°－sin15°cos15°＝1－sin30°
213＝1－＝.
44
322
(2)三角恒等式为sinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
4证明如下：
sinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sinα＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)－sinα·(cos30°·cosα＋sin30°sinα) 331231222
＝sinα＋cosα＋sinαcosα＋sinα－sinαcosα－sinα
4242232323
＝sinα＋cosα＝. 444
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
12．(1)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一
ab→→22
点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：AN·BM为定值b－a.
x2y2
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲
ab→→
线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证AN·BM为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
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(1)证明 设点P(x0，y0)(x0≠±a)， 依题意，得A(－a,0)，B(a,0)， 所以直线PA的方程为y＝令x＝0，得yM＝同理得yN＝－
y0
x0＋a(x＋a)．
ay0
x0＋a，
ay0
x0－a，
a2y20
所以yMyN＝22. a－x0
又点P(x0，y0)在椭圆上，
x2y200
所以2＋2＝1，
abb222
因此y＝2(a－x0)，
a20
a2y202
所以yMyN＝22＝b.
a－x0
→→
因为AN＝(a，yN)，BM＝(－a，yM)， →→222
所以AN·BM＝－a＋yMyN＝b－a. (2)解 定值为－(a＋b)． 三、探究与创新
13．在平面几何中，对于Rt△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，C＝90°.则(1)a＋b＝c；(2)cosA12122＋cosB＝1；(3)Rt△ABC的外接圆的半径r＝a＋b；(4)S△ABC＝ab.把上面的结论类比到空
22间，写出相类似的结论．
解 (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S1＋S2＋S3＝S. (检验：设PA，PB，PC两两互相垂直，PA＝m，PB＝n，PC＝t，PE⊥AB于点E，则 1mn22
S＝(m2＋n2)·(t2＋22)＝S21＋S2＋S3)
4m＋n2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cosα＋cosβ＋cosγ＝1.
(检验：因为S1＝Scosα，S2＝Scosβ，S3＝Scosγ)
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的外接球的半径R＝
222
m2＋n2＋t2
2
.(检验：补形为长、宽、高分别为m、n、t的长方体)
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1
(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的体积为V＝mnt.
6
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