发布时间 : 星期三 文章人教版2020高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理(1)学案 苏教版选修1-2更新完毕开始阅读
2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用．
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1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠． 2．由合情推理得到的结论可靠吗？
答 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了． [预习导引] 1．归纳推理
(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论． (2)归纳推理的特点：
①归纳推理是从特殊到一般的推理； ②由归纳推理得到的结论不一定正确； ③归纳推理是一种具有创造性的推理． 2．类比推理 (1)类比推理的定义：
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法． (2)类比推理的思维过程：
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 3．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理．
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要点一 归纳推理的应用
例1 观察如图所示的“三角数阵” 1…………第1行 2 2…………第2行 3 4 3…………第3行 4 7 7 4…………第4行 51114115…………第5行
…………
记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a2、a3、a4、a5； (3)归纳出an＋1与an的关系式．
解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4 由此归纳：an＋1＝an＋n.
规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．
跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝
*
*
1
； 2－an(3)对一切n∈N，an>0，且2Sn＝an＋1. 解 (1)由已知可得a1＝3＝2－1，
2
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
猜想an＝2
n＋1
－1，n∈N.
*
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(2)由已知可得a1＝a，a2＝
11＝， 2－a12－aa3＝
12－a13－2a＝，a4＝＝. 2－a23－2a2－a34－3a(n－1)－(n－2)a*
猜想an＝(n∈N)．
n－(n－1)a(3)∵2Sn＝an＋1，∴2S1＝a1＋1， 即2a1＝a1＋1，∴a1＝1. 又2S2＝a2＋1，
∴2a1＋a2＝a2＋1，∴a2－2a2－3＝0. ∵对一切n∈N，an>0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7， 猜想出an＝2n－1(n∈N)． 要点二 类比推理的应用 例2
*
*
2
如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，
B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解
如右图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos
γ.
规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形的类比：
平面图形 点 线 空间图形 线 面
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边长 面积 线线角 三角形 2面积 体积 二面角 四面体 跟踪演练2 已知P(x0，y0)是抛物线y＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线
2
pypy22
的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x－＝1在P(2，2)处的切线方程为________．
y02
答案 2x－y－2＝0
解析 将双曲线方程化为y＝2(x－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′2x2x022
＝，即过P的切线的斜率k＝，由于P(2，2)，故切线斜率k＝＝2，因此切线方yy02程为y－2＝2(x－2)，整理得2x－y－2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表： 三角形 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 解 三角形 三角形的两边之和大于第三边 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边 点的三角形)的面积等于第四个面的面积的1，且平行于第四个面 4四面体的六个二面角的平分面交于一点，且四面体 2
2
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个
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