发布时间 : 星期六 文章高考数学复习点拨 函数方程思想在解题中的应用更新完毕开始阅读
（Ⅱ）?AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由． 解法一：
（Ⅰ）∵直线AB的斜率显然存在，∴设直线AB的方程为y?kx?b，
A(x1,y1),B(x2,y2)，依题意得
由??y?kx?b,消去y,得x2?kx?b?0，① 2?y?x∴x1?x2?k，② x1x2??b ③
22 ∵OA?OB，∴x1x2?y1y2?0，即 x1x2?x1x2?0，④
由③④得，?b?b2?0，∴b?1或b?0(舍去) ∴设直线AB的方程为y?kx?1
∴①可化为 x2?kx?1?0，∴x1x2??1 ⑤， 设?AOB的重心G为(x,y)，则
x1?x2?0ky1?y2?0k(x1?x2)?2k2?2x?? ⑥ ， y??? ⑦，
33333(3x)2?22由⑥⑦得 y?，即y?3x2?，这就是?AOB得重心G的轨迹方程．
33（Ⅱ）由弦长公式得|AB|?k2?1?(x1?x2)2?4x1x2
k2?1?k2?4，
1k?12把②⑤代入上式，得 |AB|?设点O到直线AB的距离为d，则d?，
∴ S?AOB1??|AB|?d?2k2?4， 2∴ 当k?0，S?AOB有最小值，
∴?AOB的面积存在最小值，最小值是1 ．
解法二：
（Ⅰ）∵ AO⊥BO, 直线OA，OB的斜率显然存在， ∴设AO、BO的直线方程分别为y?kx，y??设A(x1,y1)，B(x2,y2)，依题意可得
1x， k?y?kx 由?2?y?x1?y??x?得 A(k,k2)，由?k2??y?x得 B(?11,)， kk2设?AOB的重心G为(x,y)，则
11k2?2x?x2?0k ① ， y?y1?y2?0?k ②， x?1?33332由①②可得，y?3x2?，即为所求的轨迹方程.
3k?（Ⅱ）由（Ⅰ）得，|OA|?k2?k4，|OB|?11， ?k2k4∴S?AOB?1111 ?|OA|?|OB|??k2?k4??2422kk11212?2?1， k?2?2?22k
?1，即k??1时，S?AOB有最小值， k2∴?AOB的面积存在最小值，最小值是1 .
当且仅当k2?
解法三:（I）设△AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y1)，B(x2 , y2 )，则
x1?x2?x???3
…（1） ?
y?y2?y?1
?3?
不过∵OA⊥OB ，
∴kOA?kOB??1，即x1x2?y1y2??1， …（2）
22又点A，B在抛物线上，有y1?x1， ,y2?x2代入（2）化简得x1x2??1， ∴y?y1?y21211222?(x1?x2)?[(x1?x2)2?2x1x2]??(3x)2??3x2?， 3333332∴所以重心为G的轨迹方程为y?3x?（II）S?AOB?2， 311122222222|OA||OB|?(x12?y12)(x2?y2)?x1x2?x12y2?x2y1?y12y2， 222111166x16?x2?2?2x16?x2?2?2(?1)6?2??2?1， 由（I）得S?AOB?222266当且仅当x1即x1??x2??1时，等号成立， ?x2
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．
五. 在立体几何方面的运用
例9.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0?a?2)，求MN的最小值。（2002年全国高考题）
分析：由于点M、N分别在异面直线（线段）AC与BF上移动，MN的最小值易理解为AC、BF间的距离，但有两点应引起注意：其一，CM＝BN；其二，AC与ＢＦ是线段而不是直线，因此ＭＮ的最小值未必是异面直线ＡＣ与ＢＦ间的距离。
采用构建ＭＮ的目标函数，用代数方法略解如下：
过Ｍ作MO⊥AB于O点，连接ON，由题设可得AM＝2?a， 由
MOAMAO???BCACAB，
22?a2a2，所以MO＝
∴
在
直
2?a2角
。又
FN2?aAO，??FBAB2中
，
MN
＝
∴ON∥AF∴ON
2＝，
2△MON
?2?a??a??22?1?????a???，当且仅当a??0,2时线段MN取得??????22?22??2?????最小值
2。 2例10.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, (0?x,y?2).（1）求MN的长(用x,y表示)；
（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。
解析：在面ABCD中作MP?AB于P，连PN，则MP?面ABEF，所以MP?PN，PB=1-AP=
2x2在?PBN中，由余弦定理得：PN2=(22x)?y2??2xycos450 2?12x?y2?xy，在Rt?PMN中，MN=MP2?PN2?(1?2x)2?1x2?y2?xy 222?x2?y2?xy?2x?1(0?x,y?2).；
（2）MN?22x32221x2?y2?xy?2x?1(y?)2?(x?，)?，故当x?32433y?23时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。 33
六. 在三角函数方面的运用
?x3?sinx?2a?0...........(1)例11、已知x,2y∈[?,]，a∈R,且?3
442)?4y?sinycosy?a?0.......(??求cos(x+2y)的值。
分析与解：此题直接求解困难较大。但观察式子（1），（2）可得变形： x3+sinx=2a,(2y)3+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数f(v)=v3+sinv
由（1）得，f(x)=2a; 由（2）得，f(2y)=-2a;由f(v)在[?f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y∈[???,]上，为单调的奇函数。故22??,],∴x=-2y,∴x+2y=o,从而cos(x+2y)=0。 4453?a－在闭区间［0，］上的最822例12、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+
大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.