发布时间 : 星期一 文章黑龙江省牡丹江市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析更新完毕开始阅读
（1）①求函数f?x?的单调区间； ②若x1,x2满足xi?1?i?1,2?，且x1?x2?0,x2?0．求证：f?x1??2f?x2??a ． ab?1?12x,x?gx＝ax?lnx（2）函数??．若12?0,对任意，x1?x2,都有?2a??|f?x1??f?x2?|?|g?x1??g?x2?|，求b?a的最大值．
【答案】（1）①单调递增区间??????1??1??11?,??,，，单调递减区间（2）??????；②详见解析；
a??aaa???1. 16【解析】 【分析】
ax2?1(1)①求导可得f??x??,x?0,再分别求解f??x??0与f??x??0的解集,结合定义域分析函数的22bx单调区间即可.
②根据(1)中的结论,求出f?x1??2f?x2?的表达式,再分x1＜0与x1>0两种情况,结合函数的单调性分析
f?x1??2f?x2?的范围即可.
2(2)求导分析g?x?＝ax?lnx的单调性,再结合f?x?单调性,设x1?x2,去绝对值化简可得
12?1?f?x1??g?x1??[f?x2??g?x2?]＞0,再构造函数M?x?＝f?x?﹣g?x?,x??0,?,根据函数的单调性
a??﹣与恒成立问题可知1【详解】
2b?0,再换元表达b?a求解最大值即可. aax2?1解：?1?f??x??,x?0, 22bx由f??x??0可得x?11x??, 或aa由f??x??0可得?11?x?, aa1??1???11????,??,故函数的单调递增区间??,??,单调递减区间???；
aaaa??????②Qx1?x2＞0,x2＞0,
?x1＞0或x1＜0,
若x1＞0,因为xi＞111,故x1＞,x2＞, aaa?1?a?1?3a（fx）,???上单调递增,f?x1??2f?x2?＞3f???, 由①知在??bbaa????若x1＜0,由x1＞11x1, 可得x1??aa因为x1?x2＞0,x2＞0, 所以x2＞﹣x1＞1, afx）由①（在??1?,???上单调递增, ?a?a bf?x1??2f?x2?＞f?x1??2f??x1?=f??x1??a． b综上f?x1??2f?x2?＞21?1?1axgx）在?0,?2?0＜x＜时,g??x??ax???1?0,（?上单调递减,
aaxx??不妨设x1＜x2, 由(1)f?x?在?0,??1??上单调递减, a?由f?x1??f?x2??g?x1??g?x2?, 可得f?x1??f?x2??g?x1??g?x2?, 所以f?x1??g?x1??[f?x2??g?x2?]＞0,
?1?x?Mx＝fx﹣gx,令???????0,?,
a??可得M单调递减, （x）2ax2?1??1?2bx??1??ax?11所以M??x??在?ax???0?0,?上恒成立, 22a??2bxx2bx即1﹣2bx?0在?0,??2b1?1﹣?0, ,上恒成立即?aa?a1?11a?,b所以b?﹣a??a???a???? ,
224?1616?所以b﹣a的最大值【点睛】
本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.
20．在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA?（1）若a?5，c?25，求b的值； （2）若B?21． 165. 5?4，求tan2C的值.
【答案】（1）b?5；（2）tan2C??【解析】 【分析】
3. 4（1）利用余弦定理得出关于b的二次方程，结合b?0，可求出b的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出cosC??cos?A?B?的值，利用同角三角函数的基本关系求出tanC的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan2C的值. 【详解】
（1）在?ABC中，由余弦定理b2?c2?2bccosA?a2得，
b2?20?2?25?5b?25，即b2?4b?5?0， 5解得b?5或b??1（舍），所以b?5； （2）由cosA?5525
及0?A??得，sinA?1?cos2A?1?()2?，
555?210所以cosC?cos(??(A?B))??cos(A?)??， (cosA?sinA)?4210又因为0?C??，所以sinC?1?cos2C?1?(102310
，)?10103102tanC2?33sinC?10?3???. 从而tanC?，所以tan2C?cosC1?tan2C1?3241010【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
21．近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由； （2）根据统计数据建立一个2?2列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
n(ad?bc)2 附：K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2)?k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 0.005 k0 6.635 7.879 【答案】（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系 【解析】 【分析】
（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系； （2）填写2?2列联表即可；
（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论． 【详解】
解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系. （2）2?2列联表如下： 戴口罩 不戴口罩 合计