发布时间 : 星期一 文章黑龙江省牡丹江市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析更新完毕开始阅读
最大值时，该圆的标准方程为______. 【答案】(x?1)?(y?2)?5 【解析】 【分析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得k的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程． 【详解】
设圆的半径为r，由题意可得?r2?5?，所以r?由题意设圆心C(a,)，由题意可得a?0，
225，
ka由直线与圆相切可得|2a?k?1|k，所以|2a??1|?5， a?r?5a5kk?1?22a??1，即2?2k，解得k?2， aa而k?0，a?0，所以5?2a?所以k的最大值为2，当且仅当2a?k时取等号，可得a?1， a所以圆心坐标为：(1,2)，半径为5， 所以圆的标准方程为：(x?1)?(y?2)?5. 故答案为：(x?1)?(y?2)?5． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.
16．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a?c=那么椭圆的方程是 ． 【答案】【解析】 【分析】 【详解】
由题意可设椭圆方程为：
,
2222∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上
∴又∴
b?tan60??3 c，
，
x2y2∴椭圆的方程为??1，
129x2y2故答案为??1．
129考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．数列?an?满足a1?2a2?3a3?L?nan?2?（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?n?2. n2an2，Tn为?bn?的前n项和，求证：Tn?.
?1?an???1?an?1?3【答案】（1）an?【解析】 【分析】
1（2）证明见解析 n2（1）利用Sn与an的关系即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】
解析：（1）当n?1时，a1?2?当n?2，nan?2?31?； 22n?2?n?1?n1?2??a?，可得， ?nn?1?nn2n222??又∵当n?1时也成立，?an?1； 2n1n2n?11??12?n?2?（2）bn??n?， n?11??1??2?1??2n?1?1?2?12?1????1?n??1?n?1??2??2?11111??1?Tn?2??2?2?3?L?n?n?1?
2?12?1??2?12?12?12?11?222?1?2??n?1???n?1?
?32?1?32?13【点睛】
本题主要考查了Sn与an的关系、裂项求和法，属于基础题.
18．已知函数y?f(x)的定义域为(0,??)，且满足f(xy)?f(x)?f(y)，当x?(1,??)时，有f(x)?0，且f(2)?1.
（1）求不等式f(4t)?f(1?t)?2的解集； （2）对任意x??0,取值范围.
【答案】（1）?0,?；（2）a??【解析】 【分析】
（1）利用定义法求出函数y?f(x)在(0,??)上单调递增，由f(xy)?f(x)?f(y)和f(2)?1，求出
??????????2?f2sinx??22cosx??5a?2…f(6?2a)恒成立，求实数a的，???????4?4??2???????1?2?5. 3f(4)，求出f(4t)?f[4(1?t)]，运用单调性求出不等式的解集；
（2）由于f?2sin?x???2?????????22cosx??5a?2…f(6?2a)恒成立，由（1）得出y?f(x)在????4?4?????????2?6?2a?2sin?x???22cos?x???5a?2…(0,??)上单调递增，?44恒成立，设?????6?2a?0???????g(x)?2sin2?x???22cos?x???5a?2，利用三角恒等变换化简g?x?，结合恒成立的条件，
4?4???构造新函数，利用单调性和最值，求出实数a的取值范围. 【详解】
（1）设x1?x2?0，
?x??x??x??f?x1??f?x2??f?1?x2??f?x2??f?1??f?x2??f?x2??f?1??0，
?x2??x2??x2?所以函数y?f(x)在(0,??)上单调递增， 又因为f(xy)?f(x)?f(y)和f(2)?1， 则f(4)?f(2?2)?f(2)?f(2)?2，
所以f(4t)?f(1?t)?2?f(1?t)?f(4)?f[4(1?t)]
?4t?0? 得?1?t?0?4t?4(1?t)???t?0?1解得?t?1，即0?t?，
2?1?t??2故t的取值范围为?0,?；
??1?2?（2） 由于f?2sin?x???2?????????22cosx??5a?2…f(6?2a)恒成立， ????4?4?????????2?2sinx??22cosx??5a?2…6?2a???????4?4?恒成立， ???6?2a?0?设g(x)?2sin?x?2????????22cosx?????5a?2， 4?4????????22cosx?????5a?2 4?4?? 则g(x)?2sin?x?2???2???2??1?cos?2x???22?cosx?sinx?5a+2 ???2?2??2??3?2sinxcosx?2(cosx?sinx)?5a，
令t?cosx?sinx?2???2sin?x??， 则t?[1,2]，
4??2所以h(t)?t?2t?5a?2?(t?1)?5a?1在区间[1,2]上单调递增， 所以h(t)min??5a?1，
6?2a??5a?1… ， 根据条件，只要?6?2a?0?所以a??【点睛】
本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.
5. 3ax2?119．已知函数f?x?＝，其中a?0,b?0．
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