发布时间 : 星期五 文章江西省南昌市八一中学2015届高三下学期第三次模拟数学（理）试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读
（1）求证：BN⊥平面C1B1N；
（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值； （3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求
的值．
考点：直线与平面所成的角；简单空间图形的三视图；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题． 分析：（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
，证出=0，
=0后即可证明BN⊥平面C1B1N；
，利用
与此法向量的夹角求出直线C1N与平面
（2）求出平面NCB1的一个法向量CNB1所成的角
（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知为0求出a的值，并求出
．
⊥，利用向量数量积
解答： （1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂直． …
以B为坐标原点，分别以BA，BB1，BC所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4） ∵
=（4，4，0）?（﹣4，4，0）=﹣16+16=0 =（4，4，0）?（0，0，4）=0
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1， ∴BN⊥平面C1B1N； …
（2）解：设n2=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，
则
则；…
，∵MP∥
（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则平面CNB1， ∴
又PM?平面CNB1，∴MP∥平面CNB1， ∴当PB=1时，MP∥平面CNB1 ∴
…
．
点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．
19．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
，
，
f3（x）=2，
，
，f6（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为
两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 解答： （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；
f3（x）=2为偶函数；
为奇函数；
为偶函数；
f6（x）=xcosx为奇函数…
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数； 另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数； 故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数， 故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…
．…
，
；
故ξ的分布列为 ξ 1 P …
∴ξ的数学期望为．…
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年2015届高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．
20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 专题：综合题．
2
3 ．
4
．
分析：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），则
，由此能求出点M的轨迹C
的方程．
（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：得
，设
，代入椭圆方程，
，
．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知
，由此能导出存在满足条件的点D．
解答： 解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y）
则，|AB|=3==1
（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m）， 则
得（k+4）x+2
2
2
，设l的方程为：y=kx+，（k≠0），代入椭圆方程，
，
kx﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣
∴y1+y2=k（x1+x2）+2
．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴，
=，的方
向向量为（1，k），=0，
2
∴﹣﹣2mk=0即m=∵k＞0，∴m=，∴0＜m＜，
∴存在满足条件的点D． 点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．