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不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识
1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义1.形如定理1.方程定理2.若
(
有解的充要是，且
为
不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
；
的一个解，则方程的一切解都可以表示成
为任意整数)。
定理3.元一次不定方程
.
方法与技巧：
，()有解的充要条件是
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从而写
出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；
2．解元一次不定方程……，
.若
，则方程无解；若
时，可先顺次求出
|，则方程有解，作方程组：
，
求出最后一个方程的一切解，然后把
程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．个元一次不定方程组成的方程组，其中个不定方程，将方程组转化为一个
（二）高次不定方程（组）及其解法
，可以消去
的每一个值代入倒数第二个方
个未知数，从而消去了
元的一次不定方程。
1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；
2．同余法：如果不定方程
有整数解，则对于任意
，其整数解
满足
，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；
3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解； 4．无限递降法：若关于正整数的命题整数，可以推出：存在
方法与技巧：
1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题
，使得
对某些正整数成立，设
是使
成立的最小正
成立，适合证明不定方程无正整数解。
的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；
2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；
3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；
4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。
（三）特殊的不定方程 1．利用分解法求不定方程将
转化为
整数解的基本思路： 后，若
可分解为
，则解
的一般形式为
2．定义2：形如对于方程
，再取舍得其整数解；
的方程叫做勾股数方程，这里
，如果
，则
为正整数。
的情形，此时易知
，从而只需讨论
两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。 定理3.勾股数方程
满足条件
，其中
推论：勾股数方程
的全部正整数解（
其中
个整数。
勾股数不定方程
3．定义3.方程况，称为沛尔(Pell)方程。
的整数解的问题主要依据定理来解决。
且不是平方数)是
的一种特殊情
的一切解可表示为：
且
为一奇一偶。
的顺序不加区别）可表示为：
是互质的奇偶性不同的一对正整数，是一
这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程整数，
且非平方数，而
的研究，其中都是可用尝试
。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的
，则称使
法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解
为它的最小解。 定理4.Pell方程最小解为
，则它的全部解可以表示成：
的最小的正整数解
且不是平方数)必有正整数解，且若设它的
.
上面的公式也可以写成以下几种形式：
（1）
定理5.Pell方程组正整数解
；（2）；（3）.
且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多
，则它的全部解可以表示为
，且在后一种情况下，设它的最小解为
定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程
为整数)无正整数解。
费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。
典例分析 例1．求不定方程解：先求
，
将上述过程回填，得：
的整数解。
的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：
，