发布时间 : 星期六 文章2020年中考数学考点总动员第08讲分式方程及其应用含解析更新完毕开始阅读
中考 2020
第8讲 分式方程及其应用
1．分式方程定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法
分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解． 3．分式方程的增根 使最简公分母为0的根．
注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根． 4．分式方程的实际应用
(1)分式方程的实际应用常见类型及关系： ①工程问题： 工作效率＝
工作量工作量
；工作时间＝；
工作时间工作效率
②销售问题：售价＝标价×折扣； 路程
③行程问题：时间＝.
速度
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意；
②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程；
⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意； ⑦答：写出答案．
审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
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考点1：分式方程的解法
23
【例题1】解方程：－1＝. 3x－16x－2
【解答】解：方法一：去分母，得4－2(3x－1)＝3. 1
解得x＝. 2
1
检验：当x＝时，2(3x－1)≠0，
21
∴x＝是原分式方程的解．
2
23
方法二：设3x－1＝y则原方程可化为－1＝，
y2y去分母，得4－2y ＝3. 1
解得y＝. 2
11
∴3x－1＝.解得x＝.
221
检验：当x＝时，6x－2≠0，
21
∴x＝是原分式方程的解．
223
方法三：移项，得－＝1.
3x－16x－21
通分，得＝1.
6x－2
由分式的性质，得6x－2＝1. 1
解得x＝. 2
1
检验：当x＝时，6x－2≠0，
21
∴x＝是原分式方程的解．
2
归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根． 考点2：分式方程的应用
【例题2(2018·吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
中考 2020
400600冰冰：＝ xx＋20600400
庆庆：－＝20
yy
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度； 庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所用时间； (2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
【解析】：(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间； 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米(选择一个即可)． 400600
(3)选冰冰的方程：＝，解得x＝40.
xx＋20经检验，x＝40是原方程的根． 答：甲队每天修路的长度为40米． 600400
选庆庆的方程：－＝20，解得y＝10.
yy经检验，y＝10是原方程的根． ∴
400
＝40. y
答：甲队每天修路的长度为40米．
归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应用题的实际意义．
考点3：分式方程与其它问题的综合应用
【例题3】（2019?山东潍坊?10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
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【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：
120000100000-=1000，求得x即可
xx?1（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元 ∴
120000100000-=1000
xx?12
整理得x﹣19x﹣120＝0
解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去） 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． （2）设每千克的平均售价为m元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有 w＝（m﹣24）（
41?m2
×180+300）＝﹣60m+4200m﹣66240 32
整理得w＝﹣60（m﹣35）+7260 ∵a＝﹣60＜0 ∴抛物线开口向下
∴当m＝35元时，w取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
一、选择题：
1. （2019，山东淄博，4分）解分式方程A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） 【答案】D
1?x1=﹣2时，去分母变形正确的是（ ） x?22?xB．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）