发布时间 : 星期六 文章高中数学经典高考难题集锦（解析版）(11)更新完毕开始阅读
分析： 先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解． 2222解答： 解：∵b+c=2，c+a=2， ∴b+c=c+a 22∴b=a 22又a+b=1， 所以当a=b=）=﹣，c=﹣， ， 时ab+bc+ca有最小值为：×+×（﹣）+×（﹣2222ab+bc+ca的最小值为﹣故选B． 点评： 本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可． 二．解答题（共25小题） 6．（2007?重庆）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），
*n∈N．
（1）求{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足
*
，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2
（an+3），n∈N． 考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；不等式的证明． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： （1）先根据题设求得a1，进而根据an+1=Sn+1﹣Sn整理得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0求得an+1﹣an=3，判断出{an}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得． （2）把（1）中的an代入入到3Tn+1﹣log2（an+3）中，令可求得bn，进而求得前n项的和Tn，代，进而判断出f（n+1）＞f（n），从而推断出3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0，原式得证． 解答： 解：（1）由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1＞1，因此a1=2， 又由得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0， 即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an，因an＞0，故an+1=﹣an不成立，舍去 因此an+1﹣an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列， 故{an}的通项为an=3n﹣1 第9页（共42页）
， （2）证明：由从而因此令可解得 ，则； 因（3n+3）﹣（3n+5）（3n+2）=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n） 特别地，从而3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0 32即3Tn+1＞log2（an+3） 点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式．涉及了不等式的证明，综合考查了学生对数列知识的灵活运用． 7．（2007?上海）如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am﹣
，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，1，…，am=a1，即ai=am﹣i+1（i=1，2，…，m）
2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出{bn}的每一项；
（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；
（3）设{dn}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）． 考点： 数列的求和；数列的概念及简单表示法． 专题： 计算题；压轴题；新定义． 分析： （1）由b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1=2，b4=11，先求b1，b2，b3，b4，然后由对称数列的特点可写出数列的各项． （2）由c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c25，c26，…，c49通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和 （3）由d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d51，d52，…，d100的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和 解答： 解：（1）设数列{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3， ∴?数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2． 22425（2）S=c1+c2+…+c49=2（c25+c26+…+c49）﹣c25=2（1+2+2+…+2）﹣1=2（2﹣1）26﹣1=2﹣3=67108861． （3）d51=2，?d100=2+3×（50﹣1）=149． 由题意得d1，d2，，d50是首项为149，公差为﹣3的等差数列． 第10页（共42页）
当n≤50时，Sn=d1+d2+…+dn=当51≤n≤100时，Sn=d1+d2+…+dn=S50+（d51+d52+…+dn） ==． 综上所述， 点评： 本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用． 8．（2007?福建）数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn． 考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （I）利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为Sn+1与Sn之间的关系，从而确定数列an的通项； （II）由（I）可知数列an从第二项开始的等比数列，设bn=n则数列bn为等差数列，所以对数列n?an的求和应用乘“公比”错位相减． 解答： 解：（I）∵an+1=2Sn， ∴Sn+1﹣Sn=2Sn， *
∴=3． 又∵S1=a1=1， n﹣1∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3（n∈N*）． n﹣2∴当n≥2时，an﹣2Sn﹣1=2?3（n≥2）， ∴an= （II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan， 当n=1时，T1=1； 01n﹣212n﹣1当n≥2时，Tn=1+4?3+6?3+…+2n?3，①3Tn=3+4?3+6?3+…+2n?3，② 12n﹣2n﹣①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（3+3+…+3）﹣2n?31=2+2?n﹣1=﹣1+（1﹣2n）?3n﹣1 （n≥2）． ∴Tn=+（n﹣）3第11页（共42页）
又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*） 点评： 本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力． 9．（2007?上海）若有穷数列a1，a2…an（n是正整数），满足a1=an，a2=an﹣1…an=a1即ai=an
，就称该数列为“对称数列”． ﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n）
（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项
（2）已知{cn}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且ck，ck+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2…2﹣1
成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008． 考点： 数列与函数的综合． 专题： 计算题；压轴题；新定义． 分析： （1）设{bn}的公差为d，由b1，b2，b3，b4成等差数列求解d从而求得数列{bn}， 2m
（2）先得到S2k﹣1=﹣4（k﹣13）+4×13﹣50，用二次函数求解， 2m﹣1是（3）按照1，2，2…2数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可． 解答： 解：（1）设{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2． （2）S2k﹣1=c1+c2+…+ck﹣1+ck+ck+1+…+c2k﹣1=2（ck+ck+1+…+c2k﹣1）﹣ck， 22S2k﹣1=﹣4（k﹣13）+4×13﹣50， ∴当k=13时，S2k﹣1取得最大值．S2k﹣1的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ①1，2，2，2，2，2，2，2，1； 2m﹣2m﹣1m﹣1m﹣22②1，2，2，2，2，2，2，2，2，1； m﹣1m﹣222m﹣2m﹣1③2，2，2，2，1，2，2，2，2； m﹣1m﹣222m﹣2m﹣1④2，2，2，2，1，1，2，2，2，2． 220072008对于①，当m≥2008时，S2008=1+2+2+…+2=2﹣1． ﹣﹣﹣m2m1m22m﹣2009mm﹣12m当1500＜m≤2007时，S2008=1+2+…+2+2+2+…+2=2﹣1+2﹣2﹣2009mm﹣12m﹣2009=2+2﹣2﹣1． 2008对于②，当m≥2008时，S2008=2﹣1． m+12m﹣2008当1500＜m≤2007时，S2008=2﹣2﹣1． mm﹣2008对于③，当m≥2008时，S2008=2﹣2． m2009﹣m当1500＜m≤2007时，S2008=2+2﹣3． mm﹣2008对于④，当m≥2008时，S2008=2﹣2． ﹣m2008m当1500＜m≤2007时，S2008=2+2﹣2． 点评： 本题一道新定义题，这样的题做法是严格按照定义要求，将其转化为已知的知识和方法去解决，本题涉及到等差数列的通项公式，等比数列求和，构造数列等知识． 第12页（共42页）
2m﹣2m﹣1m﹣2222