发布时间 : 星期日 文章(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书 文 苏教版更新完毕开始阅读
(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.
1
2a，0≤a≤，??2＝?1
2a－1，＜a＜1，??2
nnnn (1)(2016·哈尔滨模拟)若数列{an}满足an＋1
a1＝
3
，则数列的第2 015项为 . 5
(2)设an＝－3n＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是 . 2
答案 (1) (2)0
5
31
解析 (1)由已知可得，a2＝2×－1＝，
55
2
a3＝2×＝， a4＝2×＝， a5＝2×－1＝，
∴{an}为周期数列且T＝4， 2
∴a2 015＝a503×4＋3＝a3＝. 5
45
3525
45
1525
?5?23
(2)∵an＝－3?n－?＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.
?2?4
12.解决数列问题的函数思想
10n典例 (1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·()，则此数列的最大项是第 项.
11(2)若an＝n＋kn＋4且对于n∈N，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是 . 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵an＋1－an
10n＋110n＝(n＋2)()－(n＋1)()
111110n9－n＝()×， 1111
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
2
*
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1 ∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项. (2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式an＝n＋kn＋4， 所以(n＋1)＋k(n＋1)＋4>n＋kn＋4， 即k>－1－2n，又n∈N， 所以k>－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞) * 2 2 2 2468 1.数列，－，，－，…的第10项是 . 357920答案 － 21 解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1) n＋1 2n20·，故a10＝－. 2n＋121 2.(2016·苏州模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R.当x<0，f(x)>1，且对任意的实数x， y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立.若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝ f－2－an(n∈N)，则a2 015的值为 . 答案 4 029 1x解析 根据题意，不妨设f(x)＝()，则a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝ 2f1 ，∴an＋1＝ －2－an* 1 an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1， ∴a2 015＝4 029. ??2an3.(2016·无锡月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝? ??an＋ n为正奇数， n为正偶数， 则其前6项之 和为 . 答案 33 解析 a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6 ＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 4.若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝答案 3 an－1* (n≥3且n∈N)，则a2 018＝ . an－2 a23a31 解析 由已知a3＝＝，a4＝＝， a12a22a41a52 a5＝＝，a6＝＝， a33a43a6a7 a7＝＝2，a8＝＝3， a5a6 ∴数列{an}具有周期性，T＝6， ∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3. 1* 5.数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝ . 27答案 2 1 解析 ∵an＋an＋1＝，a2＝2， 23??－，n为奇数， ∴an＝?2 ??2，n为偶数. 7?3?∴S21＝11×?－?＋10×2＝. 2?2? 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1，则a3＝ . 答案 10 解析 a3＝S3－S2＝2×3－1－(2×2－1)＝10. 7.数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，则a7＝ . 答案 1 解析 由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2， 能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝ . 答案 2－1 解析 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)， 即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)， n* 2 2 2 ∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列， ∴an＋1＝2·2 n－1 ＝2，∴an＝2－1. * nn9.(2016·无锡期末)对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N)，且bn＋1－bn＝ 1(n∈N)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝ . 答案 8 解析 因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8. 10.在一个数列中，如果?n∈N，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列， * * k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3 ＋…＋a12＝ . 答案 28 解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋ a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 11.已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋1，数列{bn}满足bn＝ 2 2 ，且前n项和为Tn，设cn＝an＋1 T2n＋1－Tn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性. 解 (1)∵a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2). 2??3∴b＝?1 ??nnn＝n， n＋ (2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝ 111＋＋…＋， n＋1n＋22n＋1 111∴cn＋1－cn＝＋－ 2n＋22n＋3n＋1＝ 11 －＝2n＋32n＋2 －1 n＋ <0， ∴{cn}是递减数列. 121* 12.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝an＋an(n∈N). 22(1)求a1，a2，a3，a4的值；