发布时间 : 星期三 文章2018学年(冀教版)六年级上册第一单元圆与扇形 (1)更新完毕开始阅读
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【解析】 在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影
部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系．
将原题图中的等边三角形旋转30°(注意，只转三角形，圆形不动)，得到右上图．因为?AOD、?BOD都是等边三角形，所以四边形OBDA是菱形，推知?AOB与?ADB面积相等．又因为弦AD所对的弓形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形AOB中阴影部分面积占一半．同理，在扇形AOC、扇形BOC中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是10?2?5(平方米)．
【巩固】如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米． ?AOB??COD??EOF?90?．求阴影部分的面积．
AGFJOBHCDIEBHCDIOEAGFJ
【解析】 直接解决．
总阴影面积?每块阴影面积?3?(大弓形?小弓形)?3． 关键在于大弓形中三角形的面积，
设J为弧GI的中点，则可知GOIJ是菱形，GOJ是正三角形，
115 所以，三角形GOD的面积???26．
221115 所以大弓形的面积： SGJI?π?152???26
322 ?235.5?97.5
?138．
11 小弓形的面积：SFJE?π?152??152?176.625?112.5?64.125．
42 所以，总阴影面积??138?64.125??3?221.625(平方厘米)．
【例 62】 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径
为10厘米，求阴影部分的面积．
4-3-3 圆与扇形 题库 page 33 of 45
BBO1O2O1O2
【解析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各边长均等于半径)，则?AO2O1??BO2O1?60?，即?AO2B?120?．
这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形的面积，三角形AO2B的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦AB，高是O1O2的一半． 所以，阴影部分面积?2?S扇形AO2B?S?AO2B
120110???2??3.14?102???17??
36022??11?209?85?124(平方厘米)．
33AA??
【例 63】 下图中，AB?3，阴影部分的面积是
ACAHCEFEGFB
【解析】 如图可知EF?3，设大半圆半径为R，小圆半径为r，如右图R?EH，r?HG?EG，根据勾股定
理得R2?2r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知 S阴影?S小圆?S柳叶
?S小圆?（2S扇形EHF?S?S小圆?2S扇形EHF?2S?S小圆?S大半圆?2S?2SEHFDBDEHFEHF)
EHF
?EF?GH?3?3?2?4.5
【例 64】 如图，ABCD是平行四边形，AD?8cm，AB?10cm，?DAB?30?，高CH?4cm，弧BE、
DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，则阴影部分的面积为多少？(精确到0.01)
4-3-3 圆与扇形 题库 page 34 of 45
EDNCAMBFH
【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形，AD?8cm，AB?10cm，?DAB?30?，所以
30?25 S扇形EAB?S扇形FCD?102π??π?cm2?，
360?330?16 S扇形DAM?S扇形BCN?82π??π?cm2?．
360?3 因为平行四边形ABCD的高CH?4cm，所以SABCD?10?4?40cm2．
?? 由图中可看出，扇形EAB与FCD的面积之和，减去平行四边形ABCD的面积，等于曲边四边形DFBE的面积；平行四边形ABCD的面积减去扇形DAM与扇形BCN的面积，等于曲边四边形DMBN的面积．则
S阴影?S曲边四边形DFBE?S曲边四边形DMBN
??2S扇形EAB?SABCD???SABCD?2S扇形DAM?
?2??S扇形EAB?S扇形DAM?SABCD?
16?25??41??2??π?π?40??2???3.14?40??5.83?cm2?．
3?3??3?
【例 65】 如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也
没有滑动)．在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率为3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)
【解析】 如上图：因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能．一
种是圆滚动了不足一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270o．另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270??360??630?．
因为两条线段共长30厘米，所以270o的弧长或者630o的弧长再加上两个半径是30厘米．
270630 2πr??2r?30(厘米)，或者2πr??2r?30(厘米)，所以圆的半径是4.47厘米或2.31厘米．
360360
【例 66】 (第三届希望杯)将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形
铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.
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P
37A73A′B12A7D′D3A′BB′12CA73A′BB′12D′DC′C
图1 图2 图3
【解析】 如图1所示，使A?B?BC??C?D??D?A??12?3?9(厘米)，则正方形A?BC?D?的面积为9?9?81 (平
方厘米).如图2所示，使AA??BB??CC??DD??3(厘米)，则正方形A?B?C?D?的面积为
112?12?4??3?(12?3)?90(平方厘米).
2??察图3可知?C?D?D如图3所示，连结AC交曲线于点A?，使A?B??B?C.观A?B??12?1?.510).(注：A?B?的长度在(10.5?0.2)厘米之间均可．)于是正方形A?B?CD?的(厘米
C′DD′C面积为10.5?10.5?110.25(平方厘米).
因为81?90?110.25，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米.
板块三 曲线型旋转问题
【例 67】 正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那
么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)
BAC
【解析】 如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120?的圆弧，所以路线的总长度为：
1202π?6??2?8π厘米；
360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120?的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：
120π?62??2?15?24π?15平方厘米．
360
【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形
由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点．求C点经C1到C2走过的路径的长．
A2B60?ⅠC30?AC1ⅡB1ⅢC2BA
【解析】 由于BC为AC的一半，所以?CAB?30?，则弧CC1为大圆周长的
180??30?5?，弧C1C2为小圆
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