发布时间 : 星期三 文章2018学年(冀教版)六年级上册第一单元圆与扇形 (1)更新完毕开始阅读
下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形ACA'面积＋三角形A'B'C面积－三角形ABC面积一扇形BCB'面积＝扇形ACA'面积一扇形
52π32πBCB'面积??4π ?443、研究AD边扫过的图形．
由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：
A'ABDCB'
52π42π9用与前面同样的方法可以求出面积为：??π
444旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．
可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．
【例 73】 (2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑
动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【解析】 对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径OA，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到
与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径OA也运动到了与初始时相对的位置．这时OA沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到OA与初始位置重合，这时OA自身转了1圈，
因此小铁环自身也转了1圈．
AOOA⑵
【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以
考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．
【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁
环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
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⑴【解析】 如图，同样考虑小圆的一条半径OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径
OA滚动了540?，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．
OAAO⑵
也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的
⑴周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈．
【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(n?1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又
回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
【解析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n．”
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π?(n?1)．
2π?(n?1)所以小圆绕自己的圆心转动了：?n?1(圈)．
2π
图（1）图（2）
⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为2π?(n?1)．
2π?(n?1)所以小圆绕自己的圆心转动了：?n?1(圈)．
2π
【例 74】 如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位
置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？
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【解析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬
币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180??60??60??60?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°．
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360??60??60??90??150?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300o．
长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120??8?300??4?2160?，所以这枚硬币转动了2160o，即自身转动了6圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2π即滚动了一周．
【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)．
用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
【解析】 对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”上的
滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度?2π?自身转动圈数．结论：一样多；都是6圈．
【例 75】 一枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回
到原来的位置，那么与原A点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长为_______．
DEFACDCBEFAB1【解析】 先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆，?(2?2π)?3?6π，
26π?2π?3，即为3周，所以答案为A点，3周，6π．
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【例 76】 先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形
(如左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(π?3.14)
A2B22C
【解析】 在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才
能实施具体的计算．
22222AC222B2图⑴22图⑵
2D2AC2B22D'222222ACB22图⑷22
2图⑶
在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．
为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：
第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60°的扇形．在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；
第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动的轨迹是图⑶中的弧DD'，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm的60°的扇形；
综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．
60?6060???22?π?22?滚动时经过的面积是：3??π?22???3??π?4???8π?25.12(cm)．
360?360360???
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