发布时间 : 星期三 文章2018学年(冀教版)六年级上册第一单元圆与扇形 (1)更新完毕开始阅读
周长的
1,而CC1?C1C2即为C点经C1到C2的路径,所以C点经C1到C2走过的路径的长为45150652π?20??2π?10??π?5π?π(厘米).
12433
【巩固】如图,一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ.它的对角线长恰好是5cm.让这
个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置,这样连续做三次,点A到达点E的位置.求点A走过的路程的长.
A1A2ⅣDEⅠABⅡCⅢDⅣEAⅠBⅡCⅢ
【解析】 因为长方形旋转了三次,所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示).
这三段路程分别是:
1第1段是弧AA1,它的长度是2?π?4?(cm);
41第2段是弧A1A2,它的长度是2?π?5?(cm);
41第3段是弧A2E,它的长度是2?π?3?(cm);
4111所以A点走过的路程长为:2?π?4??2?π?5??2?π?3??6π(cm).
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【例 68】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见
如图).问:这只羊能够活动的范围有多大?(圆周率取3.14)
30A301010B20C
【解析】 如图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,其中A是半径30米的
3个圆,B,C分别是4
1个圆. 4311所以羊活动的范围是π?302??π?202??π?102?
444311???π??302??202??102??
444???2512.
半径为20米和10米的
【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图),绳长是4m,求狗所能到的地方
的总面积.(圆周率按3.14计算)
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【解析】 如图所示,羊活动的范围是一个半径4m,圆心角300°的扇形与两个半径1m,圆心角120°的扇形之
和.所以答案是43.96m2.
【例 69】 如图是一个直径为3cm的半圆,让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60?,此时B点移动
到B'点,求阴影部分的面积.(图中长度单位为cm,圆周率按3计算).
B'60?
【解析】 面积?圆心角为60?的扇形面积?半圆?空白部分面积(也是半圆)?圆心角为60?的扇形面积
603??π?32?π?4.5(cm2). 3602AB
【例 70】 如图所示,直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米,?ABC?60?,此时BC长5厘米.以点B为中心,将?ABC顺时针旋转120?,点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.(π取3)
ECABD
【解析】 注意分割、平移、补齐.
E(1)C(2)A
如图所示,将图形⑴移补到图形⑵的位置, 因为?EBD?60?,那么?ABE?120?,
1则阴影部分为一圆环的.
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1所以阴影部分面积为?π??AB2?BC2??75(平方厘米).
3
【巩固】如右图,以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米,斜边长10厘米,将它以O点为中心旋
转90?,问:三角形扫过的面积是多少?(π取3)
AO
【解析】 从图中可以看出,直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积,等于一个三角形的面积与四分之
一圆的面积之和.圆的半径就是直角三角形的斜边OA.
1因此可以求得,三角形扫过的面积为:24??π?10?10?24?25π?99(平方厘米).
4
【巩固】(2008年“学而思杯”数学试题)如图,直角三角形ABC中,?B为直角,且BC?2厘米,AC?4 厘
米,则在将?ABC绕C点顺时针旋转120?的过程中,AB边扫过图形的面积为 .(π?3.14)
AAA'B'
【解析】 如右上图所示,假设?ABC旋转120?到达?A'B'C的位置.阴影部分为AB边扫过的图形.
从图中可以看出,阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积,而整个图形总面积等于扇形ACA'的面积与?ABC的面积之和,空白部分面积等于扇形BCB'的面积与?A'B'C的面积,由于?ABC的面积与?A'B'C的面积相等,所以阴影部分的面积等于扇形ACA'与扇形BCB'的面积之
120120差,为?π?42??π?22?4π?12.56(平方厘米).
360360
【例 71】 如图,?ABC是一个等腰直角三角形,直角边的长度是1米.现在以C点为圆心,把三角形ABC顺时针转90度,那么,AB边在旋转时所扫过的面积是 平方米.(π?3.14)
A(B')ABCBCA'DBBD'CA' C【解析】 如图,顺时针旋转后,A点沿弧AA'转到A'点,B点沿弧BB'转到B'点,D点沿弧DD'转到D'点.因
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为CD是C点到AB的最短线段,所以AB扫过的面积就是图中的弧A'AB与BDD'A'之间的阴影图形.S阴影?S半圆?S空白
11S△ABC?S△BDC?S△AD'C??1?1?(平方米),
221S△ABC?S正方形ADCD'?CD2?(平方米),
2ππ1π所以,S扇形DCD'??CD2???(平方米),
4428π我们推知S阴影??BC2?S扇形DCD'?(S△BDC?S△ACD')
2ππ1 ???
2823π1 ??
82 ?0.677(5平方米).
【例 72】 (祖冲之杯竞赛试题)如图,ABCD是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形,它绕C点按
顺时针方向旋转90?,分别求出四边扫过图形的面积.
ABDC
【解析】 容易发现,DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的
A'AB1,如图: 4DCB'
因此DC边扫过图形的面积为4π,BC边扫过图形的面积为2、研究AB边的情况.
9π. 4在整个AB边上,距离C点最近的点是B点,最远的点是A点,因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间,见如图中阴影部分:
A'ABDCB'
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