发布时间 : 星期四 文章2020届高考数学一轮复习讲练测专题3.4导数的综合应用(讲)文(含解析)更新完毕开始阅读
1＋8a＋1
由f′(x)＞0得x∈(0，x2)，由f′(x)＜0得x∈(x2，＋∞)，其中x2＝，
4a?1＋8a＋1??1＋8a＋1?
∴函数f(x)在?0，?上单调递增，在?，＋∞?上单调递减．
4a4a????
ln x＋x(3)函数f(x)有两个零点，等价于方程a＝有两解． 2
xln x＋x1－2ln x－x令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝. 23
xx1－2ln x－x由g′(x)＝＞0，得2ln x＋x＜1，解得0＜x＜1， 3x∴g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，
又∵当x≥1时，g(x)＞0，当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
∴作出函数g(x)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当a∈(0,1)时符合题意．
下面给出证明：
当a≥1时，a≥g(x)max，方程至多一解，不符合题意； 当a≤0时，方程至多一解，不符合题意；
?1??1?当a∈(0,1)时，g??＜0，∴g??－a＜0，
?e??e??2?a?22?a?22?g??＝?ln＋?＜?＋?＝a，
?a?4?aa?4?aa??2?∴g??－a＜0. a??
?1??2?∴方程在?，1?与?1，?上各有一个根， ?e??a?
∴若f(x)有两个零点，a的取值范围为(0,1)．
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