发布时间 : 星期六 文章小学五年级奥数—数论之同余问题更新完毕开始阅读
【巩固】 222?2除以13所得余数是_____. ?????2000个\2\【解析】 我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
【巩固】 求14389除以7的余数． 【解析】 法一：
由于143?3?mod7? (143被7除余3)，
所以14389?389?mod7? (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)
而36?729，729?1?mod7?（729除以7的余数为1），
66 所以389?3?3????36?35?35?5?mod7?． ??????14个故14389除以7的余数为5.
法二：
计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：
31 32 33 34 35 36 37 ? ? mod7 3 2 6 4 5 1 3 于是余数以6为周期变化．所以389?35?5?mod7?．
【巩固】 （2007年实验中学考题）12?22?32???20012?2002除以7的余数是多少？ 【解析】 由于12?22?32???20012?20022?2002?2003?40056而1001是7的倍数，?1001?2003?1335，
所以这个乘积也是7的倍数，故12?22?32???20012?20022除以7的余数是0；
【巩固】 ?3130?3031?被13除所得的余数是多少？
【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，?时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，
12，8，1?以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12；
30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，?时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，??以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4； 所以?3130?3031?被13除所得的余数是12?4?13?3．
【巩固】 (2008年奥数网杯)已知a?20082008?2008?????????，问：a除以13所得的余数是多少？
2008个2008【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到20082008?2008?10000?2008；
200820082008?20082008?10000?2008； 2008200820082008?200820082008?10000?2008；
??
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008除以13余6?3?6?13?11，200820082008除以13余11?3?6?39?0，即200820082008是13的倍数．
而2008除以3余1，所以a?20082008?2008?????????除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.
2008个2008
【巩固】 777????77除以41的余数是多少？ ????1996个7【解析】 找规律：7?41?□???7，77?41?□???36，777?41?□???39，7777?41?□???28，
77777?41?□???0，……，所以77777是41的倍数，而1996?5?399?1，所以777????77可以分????1996个7成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．
【巩固】 11?22?33?44????20052005除以10所得的余数为多少？
【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，
而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的． 首先计算11?22?33?44????2020的个位数字，
为1?4?7?6?5?6?3?6?9?0?1?6?3?6?5?6?7?4?9?0?94的个位数字，为4， 由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4?100?400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是
1?4?7?6?5?23的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．
【例 11】 求所有的质数P，使得4p2?1与6p2?1也是质数．
【解析】 如果p?5，则4p2?1?101，6p2?1?151都是质数，所以5符合题意．如果P不等于5，那么P
除以5的余数为1、2、3或者4，p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果p2除以5的余数为1，那么4p2?1除
以5的余数等于4?1?1?5除以5的余数，为0，即此时4p2?1被5整除，而4p2?1大于5，所以此时4p2?1不是质数；如果p2除以5的余数为4，同理可知6p2?1不是质数，所以P不等于5，
4p2?1与6p2?1至少有一个不是质数，所以只有p?5满足条件．
【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所
得的余数都是3．
【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于
因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的89～98
可以改换为1～10，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：
进而得到本题的答案是：
因数 因数
【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式abc?bca?cab?234235286 (其中a?b?c)， 在
校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 【解析】 由于234235286?2?3?4?2?3?5?2?8?6?8(mod9)，abc?bca?cab?(a?b?c)3(mod9)，
于是(a?b?c)3?8(mod9)，从而(用a?b?c?0,1,2,...,8(mod9)代入上式检验)
a?b?c?2,5,8(mod9)…(1)，对a进行讨论：
如果a?9，那么b?c?2,5,8(mod9)…(2)，又c?a?b的个位数字是6，所以b?c的个位数字为4，b?c可能为4?1、7?2、8?3、6?4，其中只有(b,c)?(4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有
983?839?398?328245326 符合题意．
如果a?8，那么b?c?3,6,0(mod9)…(3)，又b?c的个位数字为2或7，则b?c可能为2?1、4?3、
6?2、7?6、7?1，其中只有(b,c)?(2,1)符合(3)，经检验，abc?821不合题意．
如果a?7，那么b?c?4,7,1(mod9)…(4)，则b?c可能为4?2、6?3，其中没有符合(4)的(b,c)． 如果a?6，那么b?5，c?4，abc?bca?cab?700?600?500?210000000?222334586，因此这时abc不可能符合题意．综上所述，abc?983是本题唯一的解．
【例 12】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，a?2，a?5，则这个自然数是多少？ 【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．
既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是290?233?57的约数，又是233?195?38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．
【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余
数，则这个自然数是多少？
【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90?164?254后所得的余
数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254?220?34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．
【例 13】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【解析】 根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603?A?K1??r1 939?A?K2??r2 393?A?K3??r3
由于r1?2r2，r2?2r3，要消去余数r1, r2, r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 于是我们可以得到下面的式子：603?A?K1??r1 ?939?2??A?2K2??2r2
最后两两相减消去余数，意味着能被A整除． ?393?4??A?2K3??4r3这样余数就处理成相同的．
939?2?603?1275，393?4?603?969，?1275,969??51?3?17．
51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．
【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和a的值. 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：?429?5??2?848，791、500?2?1000，这样
这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.
将这三个数相减，得到848?791?57、1000?848?152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而?57,152??19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a?6时成立,所