发布时间 : 星期六 文章小学五年级奥数—数论之同余问题更新完毕开始阅读
可求得a?27，b?10．所以，这三个数分别是19a?b?523，23a?b?631，31a?b?847。
【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等
的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．
【解析】 设这个自然数除以11余a(0?a?11)，除以9余b(0?b?9)，则有11a?a?9?3b?b，即3a?7b，
只有a?7，b?3，所以这个自然数为12?7?84。
【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5
人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?
【解析】 由48?4?12，48?5?9.6知，一组是10或11人．同理可知48?3?16，48?4?12知，二组是
13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．
【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．
【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13?6?78，并且小于13?(6?1)?91；
又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78?5?83．
【模块二：三大余数定理的应用】
【例 5】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据
同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．101?45?56，59?45?14，(56,14)?14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【解析】 (法1) 39?3?36，147?3?144，(36,144)?12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小
于除数，这个数是4,6,12；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51?39?12，147?39?108，(12,108)?12，所以这个数是4,6,12．
【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．
1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同， 而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．
【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于
它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【解析】 设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n，则s?71a?m?91b?n．
根据题意可知a?m?b?n，所以s??a?m??s??b?n?，即16a?18b，得8a?9b．所以a是9的倍数，b是8的倍数．此时，由a?m?b?n知n?m?a?b?a?a?a．
9981由于s为三位数，最小为100，最大为999，所以100?17a?m?999，而1?m?16，
所以17a?1?17a?m?999，100?17a?m?17a?16，得到5?a?58，而a是9的倍数，所以a最小为9，最大为54．
当a?54时，n?m?a?6，而n?18，所以m?12，故此时s最大为17?54?12?930；
91当a?9时，n?m?a?1，由于m?1，所以此时s最小为17?9?1?154．
91所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．
【例 6】 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a?b，求ab?ba．
【解析】 即(10a?b)?能被7整除．所以只能有a?b?7，那么abab?ba能被7整除，（10b?a)?9?（a?b）可能为92和81，验算可得当ab?92时，ba?29 满足题目要求，ab?ba?92?29?2668
【巩固】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，
那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34
的公约数，所求答案为17．
【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数
是_________．
【解析】 因为13903?13511?392, 14589?13903?686，
由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)?98，所以所求的最大整数是98．
【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________． 【解析】 找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2
的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003?23?667?2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是4?1?5．
【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数
的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．
【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．
因为2?5?2?5?0?7，2?5?3?6?0?2?5?3?6?7?9， 所以这样的数组共有下面4个：?2000,2003?，?1998,2000,2003? ，
?2000,2003,2001,1995? ，?1998,2000,2003,2001,1995?．
【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数
之和是50，那么这个整数是______．
【解析】 (70?110?160)?50?290，50?3?16......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能
是29和58，110?58?1......52，52?50，所以除数不是58．
70?29?2......12，110?29?3......23，160?29?5......15，12?23?15?50，所以除数是29
【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为
25，那么n=________
【解析】 n能整除63?91?129?25?258．因为25?3?8...1，所以n是258大于8的约数．显然，n
不
能大于63．符合条件的只有43．
【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码
的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，
1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。
【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、
26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．
【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以
他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(14?17?18?21?26)?3?32 (元) ．
【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，
两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．
剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是(15?16?18?19?20?31)?(1?2)?119?3?39...2，20 千克．
【例 10】 求2461?135?6047?11的余数．
【解析】 因为2461?11?223...8，135?11?12...3，6047?11?549...8，根据同余定理(三)，
2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数，而8?3?8?192， 192?11?17...5，所以2461?135?6047?11的余数为5．
【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478?296?351除以17的余数．
【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除
以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2?7?11)?17?9......1．
【巩固】 求31997的最后两位数．
【解析】 即考虑31997除以100的余数．由于100?4?25，由于33?27除以25余2，所以39除以25余8，
310除以25余24，那么320除以25余1；又因为32除以4余1，则320除以4余1；即320?1能被4
和25整除，而4与25互质，所以320?1能被100整除，即320除以100余1，由于
1997?20?99?17，所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36?729除以100余
29，35?243除以100余43，317?(36)2?35，所以317除以100的余数等于29?29?43除以100的余数，而29?29?43?36163除以100余63，所以31997除以100余63，即31997的最后两位数为63．