发布时间 : 星期六 文章高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程学案 新人教A版选修44更新完毕开始阅读
二 圆锥曲线的参数方程
1.理解椭圆的参数方程,了解参数的意义,会用椭圆的参数方程解决简单问题. 2.理解双曲线的参数方程,了解参数的意义,会用双曲线的参数方程解决简单问题. 3.理解抛物线的参数方程,了解参数的意义,会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题.
4.通过具体问题,体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.
1.椭圆的参数方程
x2y2
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆2+2=1的参数方程是__________.规定参数φ的
ab取值范围为________.
?(1)圆的参数方程:
?x=rcos θ,?
??y=rsin θ
(θ为参数)中的参数θ是动点M(x,y)的旋转角,
??x=acos φ,
但在椭圆的参数方程?
?y=bsin φ?
(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x,y)的旋转角,
它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角,称为离心角,不是OM的旋转角.
(2)通常规定φ∈[0,2π).
x-m(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数方程的形式.如
a2y-nb2
2
2
+
??x=m+acos φ,
=1(a>b>0)可表示为?
?y=n+bsin φ?
?x=acos θ,?
??y=bsin θ
(φ为参数).
【做一做1-1】 椭圆?
(θ为参数),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点
(-a,0)对应的θ为( ).
π3π
A.π B. C.2π D. 22
【做一做1-2】 A,B分别是椭圆+=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运
369动,求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.
2.双曲线的参数方程
x2y2
x2y2
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线2-2=1的参数方程是__________规定参数φ的
ab取值范围为__________.
1
αα??x=sin2+cos2,
【做一做2】 参数方程?
??y=2+sin α22
22
2
22
(α为参数)的普通方程是( ).
A.y-x=1 B.x-y=1
C.y-x=1(|x|≤2) D.x-y=1(|x|≤2)
3.抛物线的参数方程
2
(1)抛物线y=2px的参数方程为____________. (2)参数t的几何意义是________________. 答案:1.?
??x=acos φ,??y=bsin φ2
(a>b>0) [0,2π)
【做一做1-1】 A
【做一做1-2】 解:由于动点C在该椭圆上运动,所以可设点C的坐标为(6cos θ,3sin θ),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(6,0),B(0,3).
由重心坐标公式可知
6+0+6cos θx==2+2cos θ,??3
?0+3+3sin θ=1+sin θ.??y=3由此可得
x-2
4
2
+(y-1)=1即为所求.
2
2.?
?x=asec φ,?
??y=btan φ.
απ3π φ∈[0,2π)且φ≠,φ≠
22
2
2
【做一做2】 C 因为x=1+sin α,所以sin α=x-1.
2222
又因为y=2+sin α=2+(x-1),所以y-x=1. 而x=sin+cos=2sin(+),故x∈[-2,2].
2224
?x=2pt,?
3.(1)?
??y=2pt,
2
ααπ
t∈(-∞,+∞)
(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数
2
1.椭圆的参数方程中参数φ的几何意义
1x′=x,??a剖析:从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令?1
y′=??by,
x2y2
椭圆2+2=1可以
ab??x′=cos φ,
变成圆x′+y′=1,利用圆x′+y′=1的参数方程?
?y′=sin φ?
2
2
2
2
(φ是参数),
??x=acos φ,x2y2
可以得到椭圆2+2=1的参数方程?
ab?y=bsin φ?
(φ是参数),因此,参数φ的几何意
义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角),而不是
OM的旋转角.
2.圆锥曲线的参数方程不是惟一的
x2y2
剖析:同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的.例如,椭圆2+2=1的参数方程
ab可以是?
?x=acos θ,?
??y=bsin θ
的形式,也可以是?
?x=asin θ,?
??y=bcos θ
的形式,二者只是形式上不同
而已,实质上都是表示同一个椭圆.同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示,只是选取的参数不同,参数的几何意义也不同.
题型一 求圆锥曲线的参数方程
【例1】 椭圆中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6,焦距是25,求椭圆的参数方程.
分析:可先根据题目条件求出椭圆的普通方程,然后化为参数方程.
反思:求参数方程的关键是选准参数,有时可选的参数并不惟一,这时要选择一个恰当的.另外求参数方程比较困难时,也可以先求出它的普通方程,再化为参数方程.
题型二 圆锥曲线普通方程与参数方程的互化
【例2】 参数方程?
?x=cos θ?
??y=sin θsin θ+cos θ,sin θ+cos θ
(θ为参数)表示什么曲线?
分析:消去参数,化为普通方程再判断.
反思:有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型,这时只需先把它化为普通方程再作研究即可.
题型三 圆锥曲线参数方程的应用
2
【例3】 设M为抛物线y=2x上的动点,给定点M0(-1,0),点P为线段M0M的中点,求点P的轨迹方程.
分析:合理选取参数,将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解题方法. 题型四 易错辨析
【例4】 已知P为椭圆+=1上一点,且∠POx=,求点P的坐标.
16123
x2y2π 3
错解:设点P的坐标为(x,y),如图所示, π
x=4cos,??3
由椭圆的参数方程得?π
y=23sin,??3
即P的坐标为(2,3).
x2y2
答案:【例1】 解:由题意,设椭圆的方程为2+2=1,
ab则a=3,c=5, ∴b=2,
??x=3cos φ,
∴椭圆的普通方程为2+2=1,化为参数方程得?
32?y=2sin φ?
x2y2
(φ为参数).
sin 2θ+cos 2θ+12
【例2】 解:∵x=cos θ·sin θ+cosθ=,
21sin 2θ+cos 2θ∴x-=. 22
sin 2θ-cos 2θ+12
∵y=sinθ+sin θcos θ=,
21sin 2θ-cos 2θ∴y-=. 221212
∴(x-)+(y-)
22=
1+2sin 2θcos 2θ+1-2sin 2θcos 2θ1
=. 42
112
∴原参数方程表示的曲线是圆心为(,),半径为的圆.
222
??x=2t,
【例3】 解:令y=2t,则x==2t,得抛物线的参数方程为?
2??y=2ty2
2
2
(t为参
数),则设动点M(2t2t),定点M0(-1,0).
设点P的坐标为(x,y),由中点坐标公式得
2,
4