发布时间 : 星期日 文章(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列与组合教师用书 理 苏教版更新完毕开始阅读
(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．
答案 (1)66 (2)36
解析 (1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C5＋C4＋C5C4＝66(种)不同的取法． (2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C9＝36(种)不同的选法． 引申探究
1．本例(2)中，若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C9＝C9＝126(种)不同的选法．
2．本例(2)中，若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C3种选法，再从余下的9人中选4人，有C9种选法，所以共有C3×C9＝378(种)不同的选法．
3．本例(2)中，若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 可考虑间接法，从12人中选5人共有C12种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C9种，共有C12－C9＝666(种)不同的选法． 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商
5
5
5
5
4
1
4
1
5
4
2
4
4
22
品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C34＝561(种)， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C34种或者C35－C34＝C34＝5 984(种)． ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C20C15＝2 100(种)． ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2件假货有C20C15种，选取3件假货有C15种，共有选取方式C20C15＋C15＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种． (5)选取3件的总数为C35，因此共有选取方式 C35－C15＝6 545－455＝6 090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 题型三 排列与组合问题的综合应用 命题点1 相邻问题
例3 (2017·扬州月考)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法种数为________． 答案 36
解析 将A、B捆绑在一起，有A2种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A4种摆法，故共有A2A4＝48(种)摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A3＝12(种)摆法，故A、B相邻，A、C不相
3
24
2
4
3
3
31
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
3
2
邻的摆法有48－12＝36(种)． 命题点2 相间问题
例4 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________． 答案 120
解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A2C3A3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A2A4＝48(种)安排方法．由分类计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法． 命题点3 特殊元素(位置)问题
例5 (2016·常州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个． 答案 51
解析 分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A3＝6(个)；
第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2C3A3＝36(个)； 113第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成C3A3＝9(个)．
2由分类计数原理，知这样的三位数共有51个． 思维升华 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
23
3
23
212
(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数．
(1)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一
名的不同分派方法种数为________．
(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有________种． 答案 (1)150 (2)100
C5C33
解析 (1)分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有2·A3＝90(种)分
A2派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C5·A3＝60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150.
(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所C5C3C1C5C2C1
以共有＋＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上
22海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．
12．排列、组合问题
典例 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种． 错解展示
解析 先从一等品中取1个，有C16种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C19种不同取法，共有C16×C19＝2 736(种)不同取法． 答案 2 736 现场纠错
解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理，知有C16C4＋C16C4＋C16＝1 136(种)．
1
2
2
1
3
1
2
1
2
221
311
3
3
22