发布时间 : 星期六 文章量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析(胡丽红)更新完毕开始阅读
华东交通大学毕业设计（论文）
??阅一些其他相关文献）再将失势A(r,t)量子化后我们得到
??????? A(r,t)???ki[akiexp(ik?r)?akiexp(?ik?r)] （1-3）
ki其中?ki是常数
?k2??2?（1-4） ?()eki
V?ki1i?（?ki是对应的辐射场模的圆频率，eki是对应的辐射场波矢方向的单位）量子化后的在相互作用哈密顿量（1-2）式，因（1-2）中的第二项含有e2该项与前一项相比非常小，它表征场的不同模之间通过电子与场的耦合而发生的相互作用，这种相互作用导致双光子跃迁过程，在线性光学中我们一般省去这一项，由此得
???e???[P?A(r,t)?A(r,t)?P] （1-5） Hl??2m?????(r?]?0但是对于原子范围来 由于算符A(r,t)中含有坐标算符r，所以[A,t),P?r近似为玻尔半径值5.3?10?11米，又可见光的波长约为10?6米，从而波矢?2???6k??2??10/米，故k?r?3.5?10?4??1，作为近似可取
???exp(?ik?r)?exp(0)?1,再结合（1-3）式得
??(0)?A?(r A（1-6） ?i?a?i?] ,t)???k[akii?(0)已经不是坐标变量的函数，所以 由于此时A?(0),P?]?0 （1-7） [A 这种处理方法相当于在考虑原子和场相互作用时，省去原子的线度。通常称这种近似为偶极近似。从而相互作用哈密顿量可写为
??? Hle?? （1-8） A(0)?Pm进一步引入广义的原子算符（n为原子体系的能量本征态）
??nm （1-9） S nm5
胡丽红 量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析
?般地表示为 又因为任何描述原子行为的算符G???mS? （1-10） G ?nGnmn所以对于二能级原子，核外电子的动量算符可写为
??-P?S? （1-11）???P?-S P?_????；S??-? 分别表示原子的上升和下降算符。在注意到海森其中S?-堡表象中
?dr1??? P （1-12） ?[r,HA]?mdti??故得
?im?0????im(E?E)?r ?P（1-13）??er? ????e同理
????im?0-er ?P（1-14） ?
?e?（其中E??E????0 表示二能级原子体系的上下两个能级差）。显然?er?为
???原子的偶极矩阵元，一般而言，它是复矢量。令?er??iM,其中M是实矢量，
则由(1-11),(1-13),(1-14)式知
m?0???) ?M(S??S P?（1-15） -?e于是一个二能级原子与辐射场相互作用哈密顿量可写成
???S?) （1-16）????(a H ?ki?a?k)(Slki??i其中耦合常数?ki为
?k1??2? ?()2?0M?eki （1-17）
?V?kil? ?和H进一步结合(1-1),(1-6),(1-9)式，可得量子化后的HAR??????S??k?ki （1-18）a H A0z , HR????kiaiki综上所述，可知二能级原子与(多模)辐射场总哈密顿量为
??????S??????? H（1-19） 0z????kak?ak???k(ak?ak)(S??S?)
kk6
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为方便起见，我们已用k代替了在ki。上式中我们略去不保持能量守恒的两项
???及 a?k?kSS?(这种近似称为旋转波近似)，从而得到 a-?????S???????? H（1-20） 0z????kak?ak???k(akS??akS-)
kk此即为狄克摸式。由于J-C模型反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用，故只需要令上式中的k=1便可得到该模型哈密顿量的具体形式
???????a??a????S???? H a??(aSS-) （1-21）0z??反映的是原子从低能态跃迁到高能态，同时释放出一个光子，而a??S??S上式中a?-项则表示相反的过程。
以上我们已经简要地回顾了J-C模型哈密顿量的推导过程。
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胡丽红 量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析
第二章 用待定系数法计算J-C模型的态函数随时间演
化规律
Jaynes-Cummings模型的哈密顿量为（设??1）
H?1?0Sz??a?a?g(a?S??aS?) （2-1） 2其中a?和a分别为腔模的产生和湮灭算符，S?,S?以及Sz分别为原子的上升，下降以及反转算符，?0为原子在激发态a和基态b之间的跃迁频率，?为腔膜频率，g为原子与腔模之间的耦合常数。（2-1）式前面两项分别表示原子与腔模的自由哈密顿量，第三项为它们的相互作用部分。
H??Va?a?1??Sz??g(S?a?a?S?) 2前面两项之和为H0，后面那一项为相互作用的量H1 转入相互作用绘景
V?eiH0t?H1e?iH0t??a?a?it??S??e?it?) ??g(S?e-哈密顿量（2-1）所满足的Schr?dinger方程为(取??1)
id?(t)?H?(t) （2-2）
dt取相互作用情况
id?(t)dt?V?(t)
若光场初始处于福克态n，原子初始处于激发态a，则（2-2）的解可设为
?(t)??[Can(t)a,n?Cb(n?1)(t)b,n?1] （2-3）
n将所设的|?(t)?以及V代入相互作用情况下的薛定谔方程，过程为：
i?[Can(t)a,n?Cb(n?1)(t)b,n?1]
n??g(S?ae?S?aeit???it?)?[Can(t)a,n?Cb(n?1)(t)b,n?1]n
取??1，并且等式两边同除以i，得：
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