发布时间 : 星期六 文章天津专用2018版高考数学总复习专题03导数分项练习含解析理更新完毕开始阅读
（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'?2,且g(x')?0即可） （III）证明：由f(?)?f(?)及（I）的结论知??从而f(x)在[?,?]上的最小值为f(a).
又由????1，?,??[1,3],知1???2???3.
2a??， 2a?f(2)?f(?)?f(1),?ln2?4a??a,即?故?
f(2)?f(?)?f(3).ln2?4a?ln3?9a.??从而
ln3?ln2ln2?a?. 53三．拔高题组
1.【2005天津，理22】设函数f?x??xsinx?x?R? （Ⅰ）证明f?x?2k???f?x??2k?sinx其中为k为整数
x04（Ⅱ）设x0为f?x?的一个极值点，证明??f?x0????1?x2
02（Ⅲ）设f?x?在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1,a2,?,an,?，证明：
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?2?an?1?an???n?1,2,??
【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.
x02sin2x0x02tan2x0x04当f'?x0??0时，??f?x0????x0sinx0?sin2x?cos2x?1?tan2x?1?x2
0000222（II）证明：由函数y??x的图象和函数y?tanx的图象知，对于任意整数，在开区间（k???2，
k???2）
由：n???2?an?n?和?n?1???2?an?1??n?1??，得：
?2?an?1?an?3? ⑤ 2又：tan?an?1?an???an?1???an?tanan?1?tanana?a???n?1n?0，
1?tanan?1tanan1???an?1???an?1?an?1an 10
但??an?1?an?3?时，tan?an?1?an??0 ⑥ 2综合 ⑤、⑥ 得：
?2?an?1?an??
2.【2012天津，理20】已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0． (1)求a的值；
(2)若对任意的x∈0，＋∞)，有f(x)≤kx成立，求实数k的最小值； (3)证明
2
2*
－ln(2n＋1)＜2(n∈N)． ?i?12i?11 ，(3)详见解析 21x?a?1?． x?ax?an【答案】(1) a＝1．(2)
【解析】解：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．f?(x)?1?由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－a,1－a) － 1－a 0 极小值 (1－a，＋∞) ＋ 因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1．
2
意的x∈0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx在0，＋∞)上恒成立，故k?1符合题2意． ②当0＜k＜
11?2k1?2k1?2k?0，对于x∈(0，时，)，g′(x)＞0，故g(x)在(0，)内2k22k2k1?2k单调递增．因此当取x0∈(0，)时，g(x0)＞g(0)＝0，即f(x0)≤kx02不成立．
2k故0＜k＜
1不合题意． 21． 2综上，k的最小值为
(3)证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．
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n22??2当n≥2时，?f()????ln(1?)?
2i?12i?12i?1?i?1i?1?n2＝????ln(2i?1)?ln(2i?1)? i?12i?1i?1nn＝
2－ln(2n＋1)． ?i?12i?1k?12x2，得f(x)≤(x≥0)，从而 2n在(2)中取
f(222*
(i∈N，i≥2)， )??22i?1(2i?1)(2i?3)(2i?1)所以有
2－ln(2n＋1) ?i?12i?1n22＝?f()?f(2)??f()
2i?12i?1i?1i?2nn＜2－ln3＋
2 ?(2i?3)(2i?1)i?2n＝2－ln3＋
n?(i?2n111＜2． ?)＝2－ln3＋1－
2n?12i?32i?1综上，
2*
－ln(2n＋1)＜2，n∈N． ?i?12i?12
3.【2013天津，理20】已知函数f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t＝f(s)；
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t＞e时，有
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2lng(t)1??. 5lnt2【答案】（Ⅰ）单调递减区间是?0,??1??1?,??，单调递增区间是（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）???；
e??e?详见解析
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