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y2
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C:x-8=1的右焦点,P是C
2
的左支上一点,A(0,66),当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.
解析 (1)从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角11三角形PAC的面积SRt△PAC=2|PA|·|AC|=2|PA|越来越
大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S
四边形
PACB
变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即
CP垂直直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值, |3×1+4×1+8|此时|PC|==3, 223+4从而|PA|=|PC|2-|AC|2=22.
1
所以(S四边形PACB)min=2×2×|PA|×|AC|=22.
(2)设双曲线的左焦点为F1,连接PF1,根据双曲线的定义可知|PF|=2+|PF1|,则△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2,
由于|AF|+2是定值,要使△APF的周长最小,则|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线,如图所示. 由于A(0,66),F1(-3,0), xy
直线AF1的方程为:+=1,
-366y
即x=-3,
26
代入双曲线方程整理可得
y2+66y-96=0,解得y=26或y=-86(舍去),
所以点P的纵坐标为26.
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所以S△APF=S△AFF1-S△PFF1=2×6×66-2×6×26=126. 答案 (1)22 (2)126
探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形,注意数形结合的相互渗透,并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位臵关系的转化有两种,一种是通过数形结合建立相应的关系式,另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.
1.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.
3.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方程的实质就是分离参变量.
4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的.
5.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的.
6.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精
确图象.
一、选择题
1.直线3x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于( ) A.3或-3 C.-33或3
B.-3或33 D.-33或33
解析 圆的方程(x-1)2+y2=3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径|3+m|?=3?|3+m|=23?m=3或m=-33.
3+1答案 C
2.已知函数f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=lg x解的个数是( ) A.5 C.9
B.7 D.10
解析 由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数. 又f(x)=lg x,则x∈(0,10],画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.
答案 C
3.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1) C.(-∞,-1)
B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析 f′(x)>2转化为f′(x)-2>0,构造函数F(x)=f(x)-2x, 得F(x)在R上是增函数.
又F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4, 即F(x)>4=F(-1),所以x>-1. 答案 B
4.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( ) A.2 C.3
B.22 D.2
→=a,OB→=b,OC→=c,则CA→=a-c,CB→解析 如图,设OA→⊥CB→, =b-c.由题意知CA∴O,A,C,B四点共圆.
→|=2. ∴当OC为圆的直径时,|c|最大,此时,|OC答案 A
1
5.当0<x≤2时,4x<logax,则a的取值范围是( )
?2?A.?0,?
2??
?2?
B.?,1? ?2?
C.(1,2) D.(2,2)
解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. 1
∵0<x≤2,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, ∴0<a<1,排除答案C,D;
11111
取a=2,x=2,则有42=2,log22=1, 显然4x<logax不成立,排除答案A;故选B. 答案 B