2020届中考数学基础题提分讲练专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(含解析) 联系客服

发布时间 : 星期六 文章2020届中考数学基础题提分讲练专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(含解析)更新完毕开始阅读

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【点睛】

本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质,较难的是题(3),通过作辅助线,构造两个相似三角形是解题关键.

8.(2020·江苏初二期中)如图,长方形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,折痕的一端G点在边BC上.

(1)如图1,当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时,求AF的长; (2)如图2,当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时, ①求证:△EFG是等腰三角形;②求AF的长;

(3)如图3,当折痕的另一端F在AD边上,B点的对应点E到AD的距离是4,且BG=5时,求AF的长.

【答案】(1)AF=3;(2)①见解析;②AF=6;(3)AF=1 【解析】

(1)解:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处, ∴BF=EF, ∵AB=8, ∴EF=8﹣AF,

在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2, 即42+AF2=(8﹣AF)2, 解得AF=3;

(2)①证明:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,

∴∠BGF=∠EGF,

∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC, ∴∠BGF=∠EFG, ∴∠EGF=∠EFG, ∴EF=EG,

∴△EFG是等腰三角形;

②解:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处, ∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF, ∴EF=EG=10,

在Rt△EFH中,FH=EF2?HE2?102?82=6, ∴AF=FH=6;

(3)解:如图3,设EH与AD相交于点K,过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N,

∵E到AD的距离为4, ∴EM=4,EN=8﹣4=4, 在Rt△ENG中,EG=BG=5,

∴GN=EG2?EN2?52?42=3,

∵∠GEN+∠KEM=180°﹣∠GEH=180°﹣90°=90°, ∠GEN+∠NGE=180°﹣90°=90°, ∴∠KEM=∠NGE, 又∵∠ENG=∠KME=90°, ∴△GEN∽△EKM,

EKKMEM??, EGENGNEKKM4??, 即5432016解得EK=,KM=,

33∴

∴KH=EH﹣EK=8﹣

204=, 33∵∠FKH=∠EKM,∠H=∠EMK=90°, ∴△FKH∽△EKM,

FHKH?, EMKM4FH?3, 即

1643∴

解得FH=1, ∴AF=FH=1. 【点睛】

此题考查折叠的性质,勾股定理,相似三角形的判定及性质定理,每个小问的问题都是求AF的长度,故解题中注意思路和方法的总结,(3)中的解题思路与(2)相类似,求出FH问题得解,故将问题转化是解题的一种特别重要的思路.

9.(2019·河南初三期中)正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置,点A,D,G在同一条直线上,点E在CD边上,AD=3,DE=2,连接AE,CG. (1)线段AE与CC的关系为______;

(2)将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后,如图2,请问(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由

(3)在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中,当∠AEC=90°时,请直接写出AE的长.

【答案】(1)AE=CG,AE⊥CG;(2)仍然成立;理由见解析;(3)AE的长为22+1或22﹣1. 【解析】

(1)线段AE与CG的关系为:AE=CG,AE⊥CG, 理由如下:

如图1,延长AE交CG于点H,

∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形, ∴AD=CD,ED=GD,∠ADE=∠CDG=90°, ∴△ADE≌△CDG(SAS), ∴AE=CG,∠EAD=∠GCD,

∵∠EAD+∠AED=90°,∠AED=∠CEH, ∴∠GCD+∠CEH=90°, ∴∠CHE=90°,即AE⊥CG, 故答案为:AE=CG,AE⊥CG; (2)结论仍然成立,理由如下: 如图2,设AE与CG交于点H,

∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形, ∴AD=CD,ED=GD,∠ADC=∠EDG=90°, ∴∠ADC+∠CDE=∠EDG+∠CDE, 即∠ADE=∠CDG, ∴△ADE≌△CDG(SAS), ∴AE=CG,∠EAD=∠GCD,

∵∠EAD+∠APD=90°,∠APD=∠CPH, ∴∠GCD+∠CPH=90°, ∴∠CHP=90°,即AE⊥CG, ∴AE=CG,AE⊥CG, ∴①中的结论仍然成立;

(3)如图3﹣1,当点E旋转到线段CG上时,过点D作DM⊥AE于点M, ∵∠AEC=90°,∠DEG=45°, ∴∠AED=45°,

∴Rt△DME是等腰直角三角形, ∴ME=MD=

2DE=1, 2△AMD中,ME=1,AD=3, 在Rt?∴AM=AD2?MD2=32?12=22,