发布时间 : 星期六 文章2020届中考数学基础题提分讲练专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(含解析)更新完毕开始阅读
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【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.
8．（2020·江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； （2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时， ①求证：△EFG是等腰三角形；②求AF的长；
（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E到AD的距离是4，且BG＝5时，求AF的长．
【答案】（1）AF＝3；（2）①见解析；②AF＝6；（3）AF＝1 【解析】
（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处， ∴BF＝EF， ∵AB＝8， ∴EF＝8﹣AF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， 即42+AF2＝（8﹣AF）2， 解得AF＝3；
（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴∠BGF＝∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC， ∴∠BGF＝∠EFG， ∴∠EGF＝∠EFG， ∴EF＝EG，
∴△EFG是等腰三角形；
②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处， ∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF， ∴EF＝EG＝10，
在Rt△EFH中，FH＝EF2?HE2?102?82＝6， ∴AF＝FH＝6；
（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，
∵E到AD的距离为4， ∴EM＝4，EN＝8﹣4＝4， 在Rt△ENG中，EG=BG=5，
∴GN＝EG2?EN2?52?42＝3，
∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°， ∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠KEM＝∠NGE， 又∵∠ENG＝∠KME＝90°， ∴△GEN∽△EKM，
EKKMEM??， EGENGNEKKM4??， 即5432016解得EK＝，KM＝，
33∴
∴KH＝EH﹣EK＝8﹣
204＝， 33∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°， ∴△FKH∽△EKM，
FHKH?， EMKM4FH?3， 即
1643∴
解得FH＝1， ∴AF＝FH＝1． 【点睛】
此题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，每个小问的问题都是求AF的长度，故解题中注意思路和方法的总结，（3）中的解题思路与（2）相类似，求出FH问题得解，故将问题转化是解题的一种特别重要的思路.
9．（2019·河南初三期中）正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD＝3，DE＝2，连接AE，CG． （1）线段AE与CC的关系为______；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由
（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE的长．
【答案】（1）AE＝CG，AE⊥CG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为22+1或22﹣1． 【解析】
（1）线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG， 理由如下：
如图1，延长AE交CG于点H，
∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形， ∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，
∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH， ∴∠GCD+∠CEH＝90°， ∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG， 故答案为：AE＝CG，AE⊥CG； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图2，设AE与CG交于点H，
∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形， ∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°， ∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE， 即∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，
∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH， ∴∠GCD+∠CPH＝90°， ∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG， ∴AE＝CG，AE⊥CG， ∴①中的结论仍然成立；
（3）如图3﹣1，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M， ∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°， ∴∠AED＝45°，
∴Rt△DME是等腰直角三角形， ∴ME＝MD＝
2DE＝1， 2△AMD中，ME＝1，AD＝3， 在Rt?∴AM＝AD2?MD2＝32?12＝22，