发布时间 : 星期五 文章江苏省2018-2019年高一(上)期末数学试卷(含答案解析)更新完毕开始阅读
（2）∵由（1）问可得f（x）=2x+，
∴f（x）在区间（0，0.5）上是单调递减的； 证明：设任意的两个实数0＜x1＜x2＜， ∵（fx1）﹣（fx2）=2（x1﹣x2）+又∵0＜x1＜x2＜， ∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜， ∴﹣4x1x2＞﹣1 ∴1﹣4x1x2＞0， f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在区间（0，0.5）上是单调递减的．
20．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
，
﹣
=2（x1﹣x2）+
=
，
底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点． （1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为的值；若不存在，请说明理由．
？若存在，求出
【解答】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD． 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC．
由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=在Rt△POA中，因为AP=在Rt△PBO中，PB=
，AO=1，所以OP=1，
，
．
．
，
，所以cos∠PBO=
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为设QD=x，则S△DQC=x，由（2）得CD=OB=在Rt△POC中，PC=
，
=
，
，
所以PC=CD=DP，S△PCD=
由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x=，所以存在点Q满足题意，此时
=．
21．（10分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx﹣2． （1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当（2）若
时，求k的值；
是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、
D，探究：直线CD是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由； （3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为四边形EGFH的面积的最大值．
，求
【解答】解：（1）∵
．
，∴点O到l的距离，∴
（2）由题意可知：O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设其方程为：即
，
，
．
又C、D在圆O：x2+y2=2上， ∴由
，得
，即，
∴直线CD过定点．
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2． 则∴
，
，
当且仅当
，即
时，取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为．
22．（10分）设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A，那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换？说明你的理由； ①
；
②f（x）=x2﹣x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R． （2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知
是y=f（x）
的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m、n的值． 【解答】解：（1）在①中，∵
∴函数y=f（x）的值域为R，函数y=f[g（t）]的值域是（0，+∞）， 故①不是等值域变换， 在②中，当t∈R时，
，即f（x）的值域为，即y=f[g（t）]的值域仍为
，
，
，
∴x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，故②是等值域变换．
（2）f（x）=log2x定义域为[2，8]，因为x=g（t）是f（x）的一个等值域变换， 且函数y=f[g（t）]的定义域为R， ∴
的值域为[2，8]，
，
∴恒有，
解得
．