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标准差σ = (∑(xi – -x)^2 * fi/ ∑f)^0.5 = (11992.50 / 130)^0.5 = 9.6(分) 方差σ^2 = 11992.50 / 130 = 92.3 ⑵学生成绩的矩偏度系数和矩峰度系数。
矩偏度系数sk = S3 / σ^3 = (-28620 / 130) / 9.6^3 = -0.25 矩峰度系数ku = S4 / σ^4 = (3015388 / 130) / 9.6^4 = 2.73 10．某运输公司对中兴汽车的驾驶速度和行驶英里数的观测数据如表所示： 驾驶速度 行驶里程 30 28 50 25 40 25 55 23 30 30 25 32 60 21 25 35 50 26 55 25 要求计算：⑴驾驶速度与行驶英里数之间的协方差；
序号 驾驶速度x 行驶里程y x偏差 y偏差 x偏差^2 y偏差^2 x偏差 * y偏差 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 30 50 40 55 30 25 60 25 50 55 420 28 25 25 23 30 32 21 35 26 25 270 - -12 8 -2 13 -12 -17 18 -17 8 13 - 1 -2 -2 -4 3 5 -6 8 -1 -2 144 64 4 169 144 289 324 289 64 169 1660 1 4 4 16 9 25 36 64 1 4 164 -12 -16 4 -52 -36 -85 -108 -136 -8 -26 -475 由表中资料分别计算得：
驾驶速度的算术平均数-x = ∑x / n = 420 / 10 = 42 行驶里程的算术平均数-y = ∑y / n = 270 / 10 = 27
则驾驶速度x与行驶里程y之间的协方差Sxy = 1/n * ∑((xi – -x) * (yi – -y)) = -475 / 10 = -47.5
⑵驾驶速度和行驶英里数之间的相关系数，并对计算结果进行简要说明。
因为行驶速度的标准差σx = (1660 / 10)^0.5 = 12.88 行驶里程的标准差σy = (164 / 10)^2 = 4.05
相关系数ρxy = Sxy / (σx * σy) = -47.5 / (12.88 * 4.05) = -0.91
计算结果表明，驾驶速度和行驶英里数的协方差和相关系统均为负值，说明二者是负相关的，同时相关系数-0.91比较接近-1，说明二者之间存在着高度的负相关关系。 11．表给出了上证指数和深证成指收盘价： 日期 上证指数 深证成指 1月4日 1月8日 1月13日 1月19日 1月25日 2月1日 2月9日 2月25日 3月2日 3月10日 3月17日 3月24日 3月30日 3243.76 13533.54 3196.00 13267.44 3172.66 13016.56 3246.87 13350.67 3094.41 12470.19 2941.36 11989.11 2948.84 11970.44 3060.62 12494.27 3073.11 12548.91 3048.93 12391.65 3050.48 12233.77 3056.81 12290.04 3128.47 12593.04 计算：⑴上证指数和深证成指的协方差；
序号 上证指数x 深证成指y 偏差x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 合计 3243.76 13533.54 3196.00 13267.44 3172.66 13016.56 3246.87 13350.67 3094.41 12470.19 146.66 98.90 75.56 149.77 偏差y 906.65 640.55 389.67 723.78 偏差x^2 21508.70 9780.91 5709.08 22430.59 7.24 24255.43 21981.48 1330.90 575.59 2320.50 2173.57 1623.41 983.98 偏差y^2 822005.85 410298.39 151839.11 523850.81 24556.34 406769.22 430932.66 17589.29 6081.60 55340.03 154546.96 113471.03 1146.13 偏差x * 偏差y 132967.22 63348.95 29442.52 108398.73 421.78 99329.56 97326.97 4838.35 1870.97 11332.10 18328.07 13572.39 -1061.97 580115.63 -2.69 -156.70 2941.36 11989.11 -155.74 -637.78 2948.84 11970.44 -148.26 -656.45 3060.62 12494.27 3073.11 12548.91 3048.93 12391.65 3050.48 12233.77 3056.81 12290.04 3128.47 12593.04 40262.32 164149.63 - -36.48 -132.62 -23.99 -77.98 -48.17 -235.24 -46.62 -393.12 -40.29 -336.85 31.37 - -33.85 114681.39 3118427.42 上证指数x的算术平均数-x = 40262.32 / 13 = 3097.10 深证成指y的算术平均数-y = 164149.63 / 13 = 12626.89
则上证指数x和深证成指y之间的协方差Sxy = 1/n * ∑((xi – -x) * (yi – -y)) = 580115.63 / 13 = 44624.28
⑵上证指数和深证成指的相关系数，并对计算结果进行解释。
因为上证指数x的标准差σx = (∑(xi - -x)^2 / n)^0.5 = (114681.39/13)^0.5 = 93.92 深证成指y的标准差σy = (∑(yi - -y)^2 / n)^0.5 = (3118427.42/13)^0.5 = 489.77 则上证指数和深证成指之间的相关系数ρxy = Sxy / (σx * σy) = 44624.28 / (93.92 * 489.77) = 0.97
计算结果表明，上证指数和深证成指的相关系数和协方差都是正值，说明二者是正相关的；同时相关系数0.97接近1，说明二者之间存在着高度的正相关关系。
第2章 概率与概率分布
思考与练习
1．什么是频率？什么是概率？二者之间的关系如何？
频率是在随机试验中试验结果出现的次数；
随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为事件A发生的概率。 关系：
频率的稳定值与事件发生的可能性大小存在内在的必然联系。一方面频率的稳定性说明事件发生的可能性大小确实是一种客观存在，另一方面，频率的稳定值对事件发生的可能性大小提供了一种直观的解释。
一个事件A发生的可能性的大小—概率，在直观上表现为大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值，但频率的稳定值本身并不是概率的本质，不能作为概率的定义，一个事件的概率是由事件本身特征所决定的客观存在，就好比一根木棒有它的长度一样，频率的稳定值是概率的外在的必然表现，当进行大量重复试验时，频率会接近稳定值，因而，频率可用来作为概率的估计，就好比是测量概率的“尺子”，随着试验次数的增加，测量的精度会越来越高。
2．互斥事件和对立事件的区别是什么？
互斥事件又称互不相容事件，即事件A与B不可能同时发生；
对立事件是指事件A与B互为反面，它们不可能同时发生，但它们中必然会有一个发生，即A事件不发生时B必然发生。
3．什么是概率分布？概率分布如何表示？
所谓随机变量的概率分布，就是随机变量的取值规律，通常用分布律（或分布密度）、分布函数来描述随机变量的分布。对于离散型随机变量的概率分布可以用表格的形式来表示，对于连续型随机变量的概率分布可以用概率分布密度曲线图形来表示。 4．指出μ与σ^2对正态分布的密度的影响。
⑴f(x)关于直接x = μ对称；在x = μ ± σ处有拐点。
⑵ f(x)在x = μ处有最大值1/[(2π)^0.5σ]，该位置处也是分布的中位数和众数。
⑶当x→∞时，f(x) →0，即曲线y = f(x)以x轴为渐近线。 ⑷当σ越大时，曲线越平缓；当σ越小时，曲线越陡峭。
服从正态分布的随机变量的概率规律：为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。 5．简述随机变量数学期望和方差的性质。
数学期望的性质：
⑴设a为常数，则E(a)=a。
⑵设X为随机变量，a为常数，则E(a * X)=a * E(X)。 ⑶设X、Y是两个随机变量，则E(X ± Y)=E(X) ± E(Y)。 ⑷设X、Y是相互独立的随机变量，则E(X * Y)=E(X) * E(Y)。 方差的性质：
⑴设c为常数，则D(c)=0。
⑵设X为随机变量，c为常数，则有D(c * X) = c^2 * D(X)。
⑶设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X + Y) = D(X) + D(Y)。 6．指出下列各试验的样本空间： ⑴掷两个骰子，分别观察其出现的点数；
Ω={1,2,3,4,5,6}
⑵观察一只股票某日的价格（收盘价）；
Ω={ [(1 - 0.1)P, (1 + 0.1)P]}，P为前一交易日收盘价。 ⑶甲、乙两人下一局棋，观察棋赛的结果；
Ω={甲胜，已胜，和棋}
⑷记录一个班级一次数学考试的平均成绩（以百分制记分）；
Ω={[0,100]}
⑸一袋中装有10个同型号的零件，其中3个合格，7个不合格，每次从中随意取出一个，不合格便放回去，直到取到合格的零件为止，观察所抽取的次数。
Ω={1,2,3,……}
7．某工厂从6000件产品中，任取两件抽样检查，如果所取的两件都合格，则记为这6000件产品可以出厂。试问：如果这6000件中不合格品多达1000件，用这种方法检查，能出