发布时间 : 星期日 文章2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 - 图文更新完毕开始阅读
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c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，
14所以c＝3，故a最大， 所以最大角的余弦值为
b2＋c2－a272＋32－821
cos A＝＝＝－.
2bc72×7×3
c2－a2－b2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
2abA．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 c2－a2－b2
解析：选C 由>0得－cos C>0，
2ab
所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
4A. 3C．1
B．8－43 2 D. 3
解析：选A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝4
2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.
3
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为( )
πA. 6πC. 3
π2π B.或 33π5π D.或 66
解析：选B 因为(a2＋c2－b2)tan B＝3ac， 所以2accos Btan B＝3ac，即sin B＝π2π
所以B＝或B＝，故选 B.
33
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________. 解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120° ＝a2＋c2＋ac， ∴a2＋c2＋ac－b2＝0. 答案：0
3
， 2
7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴(3)2＝a2＋12－2a×1×cos
2π， 3
2π
，则a＝________. 3
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0， ∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1. 答案：1
18．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
4解析：因为b＋c＝7，所以c＝7－b. 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B， 1－?， 即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×??4?解得b＝4. 答案：4
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b. 解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°， ∴B＝60°. 由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B 1
＝82－2×15－2×15×＝19.
2∴b＝19.
10．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C. 解：∵a>c>b，∴A为最大角． 由余弦定理的推论，得
b2＋c2－a232＋52－721
cos A＝＝＝－.
2bc22×3×5又∵0° 3 . 2 5×732 53 . 14 csin A 由正弦定理，得sin C＝a＝∴最大角A为120°，sin C＝ ＝ 53 . 14 层级二 应试能力达标 1．在△ABC中，有下列关系式： ①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C. 一定成立的有( ) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Asin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为( ) A．a>b C．a＝b B．a 解析：选A 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2 ＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b. Ba＋c3．在△ABC中，cos2＝，则△ABC是( ) 22cA．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 cos B＋1a＋cBa＋c 解析：选B ∵cos2＝，∴＝， 22c22ca2＋c2－b2aa ∴cos B＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2， cc2ac即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形． asin ?30°－C? 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则b－c＝( ) 1A. 21C．－ 2 B.3 2 3 2 D．－ b2＋c2－a21 解析：选A 由余弦定理得cos A＝，又b2＋c2＋bc－a2＝0，则cos A＝－， 2bc2 又0° cos C－ sin C441 ＝.故选A. 233 cos C－sin C22 asin ?30°－C?sin Asin?30°－C? ＝＝b－csin?60°－C?－sin C 5．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________． BC2＋AC2－AB222 解析：∵cos C＝＝，∴sin C＝， 2BC·AC22∴AD＝ACsin C＝3. 答案：3 sin B 6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________． sin C解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得： AC2＋5·AC－24＝0， 解得AC＝3或AC＝－8(舍去)， sin BAC3再由正弦定理可得＝＝. sin CAB53 答案： 5 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(1)求 sin C 的值； sin A cos A－2cos C2c－a ＝b. cos B 1 (2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长． 4abc 解：(1)由正弦定理可设＝＝＝k， sin Asin Bsin C2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A则b＝＝， ksin Bsin Bcos A－2cos C2sin C－sin A 所以＝， cos Bsin B 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A， sin C 因此＝2. sin A(2)由 sin C ＝2，得c＝2a. sin A 1 由余弦定理及cos B＝， 4 1 得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2， 4所以b＝2a. 又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2. 8．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝3DC. (1)若∠DAC＝30°，求B； (2)若BD＝2DC，且AD＝22，求DC. 解：(1)在△ADC中，根据正弦定理， 有 ACsin∠ADC＝DC sin∠DAC ， ∵AC＝3DC，所以sin∠ADC＝3sin∠DAC＝32 ， 又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋60°>60°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠C＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B＝60°. (2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝3x， ∴sin B＝ACBC＝33，cos B＝6 3 ，AB＝6x， 在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B， 即(22)2＝6x2＋4x2－2×6x×2x×6 ＝2x23 ， 得x＝2.故DC＝2.