发布时间 : 星期日 文章2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 - 图文更新完毕开始阅读
∴b＝22.
b2＋c2－a28＋?6＋2?2－?23?21
又∵cos A＝＝＝，
2bc22×22×?6＋2?∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三角形的三边解三角形
[典例] 在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形． [解] 法一：由余弦定理的推论得
b2＋c2－a2?6?2＋?3＋3?2－?23?22
cos A＝＝＝，
2bc22×6×?3＋3?
∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. 法二：由余弦定理的推论得
b2＋c2－a2?6?2＋?3＋3?2－?23?22
cos A＝＝＝，∴A＝45°.
2bc22×6×?3＋3?ab236
由正弦定理＝知＝，
sin Asin Bsin 45°sin B得sin B＝
6·sin 45°1
＝. 223
由a>b知A>B，∴B＝30°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. (1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． [活学活用]
已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为( )
A．60° C．120°
B．90° D．150°
解析：选C ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， ∴c2＝a2＋b2＋ab，
a2＋b2－c2
由余弦定理可得，cos C＝ 2aba2＋b2－?a2＋b2＋ab?ab1＝＝－＝－，
2ab2ab2∵0° 利用余弦定理判断三角形形状 [典例] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 解：[法一 化角为边] 将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得 a＋b－c?22?a＋c－b?2 b＋c－b??2ab?－c?2ac? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2＋c2－b2a2＋b2－c2＝2bc××， 2ac2ab [?a2＋b2－c2?＋?a2＋c2－b2?]24a4 ∴b＋c＝＝2＝a2. 24a4a 2 2 ∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形． [法二 化边为角] 由正弦定理，已知条件可化为 sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C. 又sin Bsin C≠0， ∴sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0. 又∵0° 在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状． b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2 解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已2bc2ca2ab 知条件得 b2＋c2－a2c2＋a2－b2c2－a2－b2a·＋b·＋c·＝0， 2bc2ca2ab 通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形. 正、余弦定理的综合应用 题点一：利用正、余弦定理解三角形 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin B. (1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝ 2 ，因此B＝45°. 2 (2)sin A＝sin (30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝sin A 故由正弦定理得a＝b·＝1＋3. sin B由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， sin 60°sin C c＝b·＝2×＝6. sin Bsin 45° 题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC中，求证a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C. 证明：法一：(化为角的关系式) a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin Bsin C＝2·2Rsin A·2Rsin B·sin C＝2absin C. ∴原式得证． 法二：(化为边的关系式) 222222 2ba＋c－bab222ab＋c－a左边＝a·2sin Bcos B＋b·2sin Acos A＝a··＋b··＝(a＋2R2ac2R2bc2Rc 2 2 2 2＋6 . 4 c2－b2＋b2＋c2－a2)＝∴原式得证． abc·2c2＝2ab·＝2absin C＝右边， 2Rc2R 题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用 3．已知△ABC的周长为4(2＋1)，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有sin B＋sin C＝2sin A. (1)求边长a的值； (2)若△ABC的面积为S＝3sin A，求AB·AC的值． 解：(1)由正弦定理，得b＋c＝2a.① 又a＋b＋c＝4(2＋1)，② 联立①②，解得a＝4. (2)∵S△ABC＝3sin A， 1 ∴bcsin A＝3sin A，即bc＝6. 2又∵b＋c＝2a＝42， ∴由余弦定理得 b2＋c2－a2?b＋c?2－2bc－a21 cos A＝＝＝. 2bc2bc3∴AB·AC＝bccos A＝2. 正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等． 层级一 学业水平达标 1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( ) A．30° C．120° B．60° D．150° 解析：选B ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a21 ∴cos A＝＝，∴A＝60°. 2bc22．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝ 13 ，则最大角的余弦值是( ) 14 1111A．－ B．－ C．－ D．－ 5678解析：选C 由余弦定理，得