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第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
程，得： 9t?t?3(1?t)?13?0，t?1013，再代回l2的参数方程得x?1013，y?1013，
z?13，于是P23?1013,10231313,?l?，兼顾公垂线的方向向量l?[?1,?3,4]，于是可产生公垂
x?1013y?1013z?2313??线l的方程为. ?1?34
14、求点M0(2,?1,`1)到直线l：??x?2y?z?1?0的距离d.
?x?2y?z?3?0ijk解法1：直线l的方向向量为s?1?21?[0,2,4]，在l上任取一点M(?1,0,2)，则
12?1ijkM0M?(?3,1,1)，M0M?s??311?(2,12,?6)，故M0M?s?246，又s?25，d024???????M0M?ss?230 5解法2：将直线l的方程由一般式化为标准式得
x?1yz?2??，故过点M0与直线l024垂直的平面?的方程为2(y?1)?4(z?1)?0， 即 y?2z?1?0，直线l的参数式方程为：x??1，y?t，z?2t?2，将上式代入平面?的方程，得：t?2(2t?2)?1?0，解得：t??35，所以直线l的交点为N??1,?35,45?2，于是点M0到直线l的距离为
2d?M0N?（2?1）??25???15?????22230. 5
15.求两直线l1：??x?y?z?1?0?x?2y?z?2?0与l2：?之间的最短距离
?2x?y?z?2?0?x?2y?2z?4?0解法1：过l1作平面?0//l2，过l1的平面方程为x?y?z?1??(2x?y?z?2)?0，即
(1?2?)x?(1??)y?(?1??)z?(?1?2?)?0，
要此平面平行于l2，则此法向量n0须垂直于s2，即n0?s2?0，而s2?(6,?3,0)，则
13
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
6(1?2?)?3(1??)?0，解得：???13，从而平面?0的方程为x?2y?2z?1?0，容
易得到直线l2上一点M2(0,0,?2)，点M2到平面?0的距离为h?与l2之间的距离.
解法2：容易得到直线l1上的一点M1(1,0,0)，直线l2上的一点M2(0,0,?2)，于是M1M2?(?1,0,?2)，可求
???(?2)(?2)?11?2?(?2)222?1即为l1得直线l1与直线l2的方向向量分别为s1?(0,?1,?1)，s2?(6,?3,0)，两直线公垂线的方向向
M1M2?ss?1.
???量为s?(1,2,?2)，直线l1与l2之间的距离为h?PrjsM1M2?
???14