发布时间 : 星期四 文章高数第六章总习题答案更新完毕开始阅读
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
复习题A
一 、判断正误: 1、 若a?b?b?c且b?0，则a?c； ( ? )
c?k，b?j，解析 a?b?b?c=b?(a?c)=0时，不能判定b?0或a?c．例如a?i，
有a?b?b?c?0，但a?c．
2、 若a?b?b?c且b?0，则a?c； ( ? )
解析 此结论不一定成立．例如a?i，b?j，c??(i?j)，则
a?b?i?j?k，b?c?j?[?(i?j)]?k，a?b?b?c，但a?c．
3 、若a?c?0，则a?0或c?0； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a?b??b?a． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．
二、选择题:
1 、 当a与b满足（ D ）时，有a?b?a?b；
(A)a?b； (B)a??b(?为常数)； (C)a∥b； (D)a?b?ab．
解析 只有当a与b方向相同时，才有a+b=a+b．
(A)中a，b夹角不为0，(B)，(C)中a，b方向可以相同，也可以相反．
2、下列平面方程中，方程( C )过y轴；
(A) x?y?z?1； (B) x?y?z?0； (C) x?z?0； (D) x?z?1． 解析 平面方程Ax?By?Cz?D?0若过y轴，则B?D?0，故选C．
3 、在空间直角坐标系中，方程z?1?x?2y所表示的曲面是( B )；
(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面z?1?x?2y，垂直于z轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x轴或y轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．
1
2222第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
?z?x2?y2?2,4、空间曲线?在xOy面上的投影方程为( C )；
?z?5?x2?y2?7?x2?y2?7?z?x2?y2?2(A)x?y?7； (B)?； (C) ?；(D)?
z?5z?0???z?022?x2?y2?7?x2?y2?7解析 曲线?与xOy平面平行，在xOy面上的投影方程为?．
?z?5?z?0
x?1yz?1??与平面x?y?z?1的位置关系是( B )． 21?1ππ(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为?．
44解析 直线的方向向量s={2，1，-1}，平面的法向量n={1，-1，1}，s?n=2-1-1=0，所以，s⊥n，直线与平面平行．
5 、直线
三、填空题:
π，则a?b? 2 ，a?b? 0 ； 2ππ解 a?b?absin(a,b)=2sin=2，a?b?abcos(a,b)=2cos=0．
221、若ab?2，(a,b)?
2、与平面x?y?2z?6?0垂直的单位向量为 ?6{1,?1,2}； 60解 平面的法向量 n={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为n=1?1?4=6，
所以，与平面垂直的单位向量为?
6{1,?1,2}． 63、过点(?3,1,?2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为 7y?z?5?0 ；
解 已知平面平行于x轴，则平面方程可设为 By?Cz?D?0，将点 (-3，1，-2)
7?B??D,?B?2C?D?0,5得 ?7Dy?1Dz?D?0，和(3，0，5)代入方程，有 ? ?5C?D?0,155?C??D,
5?
?即 7y?z?5?0．
2
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
4、过原点且垂直于平面2y?z?2?0的直线为
xy???z； 02解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n={0，2，-1}平行，取直线方向向量s=n={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为
xy???z ． 02?z?2x2?y2,?2x2?y2?1,5、曲线?在xOy平面上的投影曲线方程为 ?
z?1??z?0.?2x2?y2?1,解: 投影柱面为 2x?y?1，故 ?为空间曲线在xOy平面上的投影
?z?022曲线方程．
四、解答题:
1、 已知a?{1,?2,1}，b?{1,1,2}，计算(a) a?b； (b) (2a?b)?(a?b)； (c)
a?b；
i解: (a) a?b=12jk?21?{?5,?1,3}. 112?{1,?5,0}(b) 2a?b?{2,?4,2}?{1,1,2}，a?b?{1,?2,1}?{1,1,2}?{2,?1,3}，
所以(2a?b)?(a?b)?{1,?5,0}?{2,?1,3}?7．
(c) a?b?{1,?2,1}?{1,1,2}?{0,?3,?1}，所以a?b?(9?1)?10．
2、已知向量P1(2,?2,5)，终点为P2(?1,4,7)，试求：(1)向量P1P2的始点为P1P2的坐标表示； (2)向量P1P2的模；(3)向量P1P2的方向余弦； (4)与向量P1P2方向一致的单位向量．
解
:
(1)
22P}?{?3,6,2}1P2?{?1?2,4?(?2),7?5；(2)
P(?3)2?62?22?49?7； 1P2?x,y,z三个坐标轴上的方向余弦分别为cos???(3) P1P2在
362,cos??,cos??； 7773
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
(4)(P1P2)??P1P2P1P2??3i?6j?2k362??i?j?k．
77773、设向量a??1,?1,1?，b??1,1,?1?，求与a和b都垂直的单位向量.
i1j1解： 令c?a?b?1?11?11?1??0,2,2?，c0?c??0,,?，
c22???1??11?,?. 22?k故与a、b都垂直的单位向量为?c0???0,
????4、向量d垂直于向量a?[2,3,?1]和b?[1,?2,3]，且与c?[2,?1,1]的数量积为?6，?求向量d
??????解： d垂直于a与b，故d平行于a?b，存在数?使
??? d??a?b??[2,3,?1]?[1,?2,3]?[7?,?7?,?7?]
?????3因d?c??6，故2?7??(?1)?(?7?)?1?(?7?)??6， ???7?d?[?3,3,3].
5、求满足下列条件的平面方程：
(1)过三点P1(0,1,2)，P2(1,2,1)和P3(3,0,4)；(2)过x轴且与平面5x?2y?z?0的夹角为
π． 3x?0y?1z?22?11?2?0，即0?14?2解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为1?03?0x?5y?4z?13?0．
解2： 用点法式．P1,1,?1}，P1P2?{1P3?{3,?1,2}，由题设知，所求平面的法向量为
ijkn?P1P2?P1P3?11?1?i?5j?4k，
3?12又因为平面过点P1(0,1,2)，所以所求平面方程为(x?0)?5(y?1)?4(z?2)?0，即
4