发布时间 : 星期二 文章高三数学一轮总复习板块命题点专练(十二)圆锥曲线理更新完毕开始阅读
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，
C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
c2a2
解：(1)由题意，得＝且c＋＝3，
a2c解得a＝2，c＝1，则b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y＝1.
2
(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将AB的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k)x－4kx＋2(k－1)＝0， 2k±21＋k则x1,2＝2
1＋2k2
2
2
2
2
2
2
x2
2
，
?2k2，－k2?，
C的坐标为??
?1＋2k1＋2k?
且AB＝＝
1＋kx2－x1
2
2
＋y2－y1
2
2
2
x2－x1
221＋k＝2
1＋2k.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意． 从而k≠0，故直线PC的方程为 2k?1?
y＋2?， 2＝－?x－1＋2kk?1＋2k?
k2
2
5k＋2??则P点的坐标为?－2，， k1＋2k2???
2
从而PC＝
3k＋11＋k. 2
|k|1＋2k22
因为PC＝2AB， 2所以
3k＋1 1＋k421＋k＝22|k|1＋2k1＋2k2
2
2
，
解得k＝±1.
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
x2y22
7．(2015·北京高考)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0,1)和点
ab2A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)．
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
b＝1，??c2
解：(1)由题意得?＝，
a2??a＝b＋c，
2
2
2
解得a＝2.
2
故椭圆C的方程为＋y＝1. 2设M(xM,0)．
因为m≠0，所以－1 x2 2 n－1 x. m?，0?所以xM＝，即M??. 1－n?1－n? (2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)． 设N(xN,0)，则xN＝. 1＋n|OM||OQ| “存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”， |OQ||ON|即yQ满足yQ＝|xM||xN|. 因为xM＝，xN＝，＋n＝1， 1－n1＋n2所以yQ＝|xM||xN|＝2＝2. 1－n所以yQ＝2或yQ＝－2. 故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且点Q的坐标为(0，2)或(0，－2). 命题点二 双曲线 难度：中命题指数：☆☆☆☆ 1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________． 2 2 mmmmmm2 2 m2 x2 解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为2ay2 －2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°b＝60°， ∴M点的坐标为(2a，3a). 4a3a∵M点在双曲线上，∴2－2＝1，a＝b， 22 ab∴c＝2a，e＝＝2. 答案：2 2．(2015·四川高考改编)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲 3线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：由题意知，双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y3＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB|＝43. 答案：43 1 3．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线 2的标准方程为________． 1 解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 2∴可设双曲线的方程为x－4y＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)＝4， ∴双曲线的标准方程为－y＝1. 4 1 法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而3<2， 2 11 ∴点(4，3)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如 22图)． ∴双曲线的焦点在x轴上， 故可设双曲线方程为 2 2 22 2 cay2 y2 x2 2 x2y2 －＝1(a>0，b>0)． a2b2 由已知条件可得 b1??a＝2，?163??a－b＝1， 22 ??a＝4， 解得?2 ?b＝1，? 2 ∴双曲线的标准方程为－y＝1. 4答案：－y＝1 4 x2 2 x2 2 x22 4．(2015·北京高考)已知双曲线2－y＝1(a>0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝ a________. x22x解析：双曲线2－y＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为3x＋y＝0，即y＝－3 aax，因为a>0，所以＝3，所以a＝. a3 答案： 3 3 1 3 x2y2 5．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：2－2＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线 ab段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________． 解析：不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b )．又点P在双曲线上， c24b2c2 则2－2＝1，故2＝5， aba即e＝＝5. 答案：5 cax2y25 6．(2015·广东高考改编)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为 ab4F2(5,0)，则双曲线C的方程为________． c5 解析：∵e＝＝，F2(5,0)， a4 ∴c＝5，a＝4，b＝c－a＝9， ∴双曲线C的标准方程为－＝1. 169答案：－＝1 169 7．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________． 解析：所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝ 12 ＝. 22 2 2 2 2 2 x2y2 x2y2