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有限元法基础及应用
习题集
一、填空
1. 有限元法是求解连续场力学和物理问题的一种 方法。用有限元法求解连续体或结构的力
学问题的三个主要步骤是：① ；② ；③ 。 2. 离散化就是把连续体或结构分割成若干个在 处相互连接，尺寸有限的 结合体来
代替原来的连续结构。
3. 单元分析阶段导出的单元刚度方程建立了 和 之间的关系。单元刚度方
程的核心是 矩阵。该矩阵具有 性和 性，且主对角元素 。 4. 建立实体单元（一维杆单元、三节点三角形平面单元等）的刚度方程时，须应用 作为
平衡条件。
5. 弹性力学几何方程反映弹性体变形时 和 之间的关系。
?u?e6. 单元位移模式????N???? 中?N?称为 矩阵。该方程的含义
?v?是 。
7. 单元某节点i的形函数Ni在该点的值为 ，在其它节点的值均为 。一个单元所有节点
形函数之和等于 。
8. 作用在单元上的载荷须按 的原则移置到节点上，因
为 。 9. 单
元
刚
度
矩
阵
奇
异
性
的
力
学
意
义
是： 。
10. 结构有限元平衡方程?K??????Q?建立了有限元离散结构中节点的 和 之间的关
系。该方程的力学意义是有限元离散结构中节点的 和 之间的平衡。 11. 整体刚度矩阵具有如下性质：① ② ③ ④ 。 12. 对一定的有限元网格，整体刚度矩阵的半带宽与 有关。半带宽越小，求解时占用计算机
资源 。
13. 为保证有限元解的收敛性，单元位移模式应满足 和 。
14. 建立任意形状和方位平面四边形单元和空间六面体单元时，需要采用与单元位移模式中相同的用局
部坐标表示的节点形函数对节点坐标进行插值以获得一种坐标变换，这种变换称为 ，采用等参变换的单元称为 。
15. 节点数越多的单元，其位移模式多项式 ，单元 的能力越强，
所以精度 。
16. 弹性力学几何方程反映弹性体变形时 和 之间的关系。 17. 弹性力学边界条件包括 和 。
18. 弹性体的虚位移是假想在弹性体上发生的满足 条件的微小位移场。弹性体的虚功原理可
以概括为 等于 。
19. 弹性力学物理方程反映弹性体变形时 和 之间的关系。
20. 平面应力问题的典型例子是 、平面应变问题的典型例子
是 。
21. 建立平面问题或空间问题的单元特性方程（单元分析）阶段，需要用到弹性力学的 方程和
方程。
二、简答题
1．简述弹性力学平面问题有限元法中单元特性分析的过程。 2．简述建立整体有限元平衡方程的过程。
3．平面三节点三角形单元中位移、应变和应力具有什么特征？有何优缺点？ 4．四节点矩形单元中位移、应变和应力具有什么特征？有何优缺点？ 5．简单三角形单元刚度矩阵元素的大小与哪些因素有关？与哪些因素无关？ 6．画出三节点三角形单元形函数的图形，并分析其在边界上的分布特点。 7．对一个给定的弹性力学问题，有那些途径可以提高有限元法求解精度？
8．按位移求解的有限元法中：（1）应用了哪些弹性力学的基本方程？（2）应力边界条件及位移边界条
件是如何反映的？（3）力的平衡条件是如何满足的？（4）变形协调条件是如何满足的？ 9．有限元的收敛条件是什么？证明三节点三角形单元满足收敛条件。
10．平面应力三角形单元和空间轴对称三角形单元分别代表物理空间中什么样的物体？ 11. 试述所学各类单元节点数、节点位移分量、单元自由度数目。 12. 位移函数应满足哪些要求？写出梁单元的位移函数。 13. 空间轴对称问题的位移分量、应变分量、应力分量有哪些？ 14. 简单（纯弯）梁单元的节点位移分量、单元自由度？
15. 平面梁单元的节点有几个自由度？其在局部坐标系下节点位移分量有哪些？ 16. 弹性力学的基本假设？弹性力学有哪些基本方程和边界条件？
17. 一维杆单元、三节点三角形平面单元、三节点三角形空间轴对称单元的形函数矩阵、应变矩阵、单
元刚度矩阵的行数和列数分别是多少？
18．对于平面问题简单三角形单元，为什么单元刚度矩阵是常数矩阵？
19．什么是等参变换？等参变换的基本条件是什么？哪些情况使等参变换不成立？划分等参单元时应注
意哪些问题？
20．应用等参单元时，为什么要采用高斯积分？高斯积分的数目如何确定？ 21．弹性力学平面问题求解时应用的三角形单元是等参单元吗？为什么？ 21．什么是等参单元，等参单元的主要优点是什么？
22．写出平面四节点等参元的坐标变换的雅克比（Jacobian）矩阵。
23．非节点载荷为什么要等效变换成节点载荷，如何变换？作变换时应注意什么问题？ 24．结构原始平衡方程式为什么要做约束处理？
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