发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(更新完毕开始阅读
C．锐角三角形 答案 B
解析 由sin A＝sin C，知a＝c， ∴△ABC为等腰三角形．
D．钝角三角形
3．在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________. 答案 25
解析 由正弦定理，得AB＝
sin CBC＝2BC＝25. sin Aπ
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝，则A＝________.
4答案
π2π或 33
解析 由正弦定理，得sin A＝asin B＝b3·2
22
＝
3， 2
π2π
又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝或. 33
1. 定理的表示形式：＝＝＝2R，
sin Asin Bsin C或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0)． 2. 正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
abc40分钟课时作业
一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( ) 5335A. B. C. D. 3577答案 A
sin Aa5解析 根据正弦定理，得＝＝.
sin Bb3
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
5
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 B
解析 由题意有absin A＝b＝sin B，则sin B＝1，
又B∈(0，π)，故角B为直角， 故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90° 答案 B
解析 ∵sin Acos Ca＝c，
∴
sin Acos C＝ac， 又由正弦定理，得a＝
sin Acsin C.
∴cos C＝sin C，∴tan C＝1， 又∵C∈(0°，180°)， ∴C＝45°，故选B.
4．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则c等于( A．1 B．2 C.2 D.3 答案 B
解析 ∵A＝105°，B＝45°， ∴C＝30°. 由正弦定理，得c＝
bsin C22sin 30°
sin B＝sin 45°
＝2. 5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( ) A．－222266
3 B.3 C．－3 D.3 答案 D
解析 由正弦定理，得1510
sin 60°＝sin B，
10×
3∴sin B＝10sin 60°23
15＝15＝3
.
) 6
∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B为锐角． ∴cos B＝1－sinB＝
21－
33
2
＝
6. 3
π
6．在△ABC中，已知A＝，a＝3，b＝1，则c的值为( )
3A．1 B．2 C.3－1 D.3 答案 B
解析 由正弦定理＝，
sin Asin B311
可得＝，∴sin B＝，
πsin B2sin
3由a>b，得A>B，∴B∈(0，
ππ)，∴B＝. 36
abπ
故C＝，由勾股定理得c＝2.
2
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于( )
77724A. B．－ C．± D. 25252525答案 A
解析 由正弦定理及8b＝5c，得8sin B＝5sin C， 又∵C＝2B，
4∴8sin B＝5sin 2B＝10sin Bcos B，∴cos B＝，
57?4?22
∴cos C＝cos 2B＝2cosB－1＝2×??－1＝. 25?5?二、填空题
ab2c8．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝
sin A2sin Bsin C________. 答案 7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ∴∴
＝＝＝2R＝2， sin Asin Bsin Caabcb2c＋＋＝2＋1＋4＝7. sin A2sin Bsin C 7
9．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________. 答案 1∶1∶3
解析 根据三角形内角和定理，得
A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理，得
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3.
10．锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且A>B.下列三个不等式中成立的是________． ①sin A>sin B； ②cos A ③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 答案 ①②③ 解析 A>B?a>b?sin A>sin B，故①成立． 函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数， ∵A>B，∴cos A 2－B， 函数y＝sin x在区间[0，π 2]上是增函数， 则有sin A>sin? ?π?2－B??? ，即sin A>cos B， 同理sin B>cos A，故③成立． 三、解答题 11．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B. 解 ∵a＝csin Asin C， ∴a＝csin Asin C＝10×sin 45° sin 30° ＝102. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵bcsin B＝sin C， ∴b＝csin B10×sin 105° sin C＝sin 30° ＝20sin 75° ＝20× 6＋2 4 ＝5(6＋2)． 12．在△ABC中，acos(π2－A)＝bcos(π 2 －B)，试判断△ABC的形状． 8