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2020高考数学（理）刷题1+1（2019高考题+2019模拟题）讲练考试试卷：基础巩固练（一）
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在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝因为AB×AP＝PB×AE，则2a＝
AB2＋PA2＝4＋a2.
4＋a2×3，即
4a2＝3(4＋a2)，解得a2＝12，所以PA＝a＝23.
111
所以VP－ABC＝3×S△ABC×PA＝3×2×2×4×sin120°×23＝4.
解法二：如图，分别以直线AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝a，则点B(2,0,0)，D(0，3，0)，P(0,0，a)． →→
所以BD＝(－2，3，0)，BP＝(－2,0，a)． 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则 ??－2x＋3y＝0，? ??－2x＋az＝0.
23?23?
?. 取x＝3，则y＝2，z＝a，所以m＝?3，2，
a??因为n＝(0,1,0)为平面PAB的法向量， 2|m·n|2
则|cos〈m，n〉|＝cos45°＝2，即|m||n|＝2. 所以
2
＝2，解得a2＝12，所以PA＝a＝23. 127＋a22
111
所以VP－ABC＝3×S△ABC×PA＝3×2×2×4×sin120°×23＝4.
20．(本小题满分12分)(2019·甘肃省甘谷第一中学高三第七次检测)椭圆E：
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x2y25
a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率是3，过点P(0，1)作斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|＝33.
(1)求椭圆E的方程；
(2)当k变化时，在x轴上是否存在点M(m,0)，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
???33?
解 (1)由已知椭圆过点?，1?，可得?a＝b＋c，
2??
c5?＝?a3，
2
2
2
271
4a2＋b2＝1，
x2y2
解得a＝9，b＝4，所以椭圆E的方程为9＋4＝1.
2
2
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点C(x0，y0)，
?y＝kx＋1，由?x2y2
?9＋4＝1，
＝， 4＋9k2
－18k
消去y得(4＋9k2)x2＋18kx－27＝0，显然Δ>0，且x1＋x2
x1＋x2－9k4
所以x0＝2＝，y＝kx＋1＝. 00
22
4＋9k4＋9k当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程为 1?x＋9k?4
??y＝－k， 2＋
?4＋9k?4＋9k25
将M(m,0)代入，得m＝－4.
k＋9k4
若k>0，则k＋9k≥2
4
k×9k＝12，
?－4?4
??≤ 若k<0，则k＋9k＝－＋?－9k??k?
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－2－4
k×?－9k?＝－12，
55
所以－12≤m<0或0 55 综上所述，存在点M满足条件，m的取值范围是－12≤m≤12. 21．(本小题满分12分)(2019·西藏拉萨二模)已知函数f(x)＝ax－bex，且函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为a－1. (1)求b的值； (2)求函数f(x)的最值； (3)当a∈[1,1＋e]时，求证：f(x)≤x. 解 (1)由题意，得f′(x)＝a－bex， 又∵f′(0)＝a－b＝a－1，∴b＝1. (2)f′(x)＝a－ex. 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，f(x)没有最值； 当a>0时，令f′(x)<0，得x>ln a， 令f′(x)>0，得x ∴f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递增，在区间(ln a，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在x＝ln a处取得唯一的极大值，即为最大值，且f(x)max＝f(ln a)＝aln a－a. 综上所述，当a≤0时，f(x)没有最值； 当a>0时，f(x)的最大值为aln a－a，无最小值． (3)证明：要证f(x)≤x，即证(a－1)x≤ex， 令F(x)＝ex－(a－1)x， 15 / 18 2020高考数学（理）刷题1+1（2019高考题+2019模拟题）讲练考试试卷：基础巩固练（一） +Word版含解析 当a＝1时，F(x)＝ex>0，∴(a－1)x≤ex成立； 当1 ∴F(x)在区间(－∞，ln (a－1))上单调递减，在区间(ln (a－1)，＋∞)上单调递增， ∴F(x)≥F(ln (a－1))＝eln (a－1)－(a－1)ln (a－1)＝(a－1)[1－ln (a－1)]． ∵1 ∴a－1>0,1－ln (a－1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0， ∴F(x)≥0，即(a－1)x≤ex成立，故原不等式成立． (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·福建漳州第二次质量监测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程?x＝2＋2cosα，为?(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极?y＝4＋2sinα 坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． ??x＝2＋2cosα， 解 (1)曲线C1的参数方程为?(α为参数)，转换为直角坐标 ??y＝4＋2sinα方程为(x－2)2＋(y－4)2＝4， 转换为极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－8ρsinθ＋16＝0. (2)曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ. 转换为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0， 16 / 18