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2020高考数学（理）刷题1+1（2019高考题+2019模拟题）讲练考试试卷：基础巩固练（一）
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设|BD|＝m，则|AP|＝|AF|＝2m，|BF|＝m，|AM|＝m，所以在Rt△ABM中，|AB|1
＝|AF|＋|BF|＝3m，所以cos∠BAM＝3，所以kl＝tan∠BAM＝22.
解法二：如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为P，D，过B作AP的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义及题中条件知|AM|＝|PM|＝|BD|.根据抛物线中焦点弦的性质知，
1121111113＋＝＝1?＋＝＋＝＋＝|AF||BF|p|AF||BF||AP||BD|2|BD||BD|2|BD|＝1?|BD|＝32，
39
所以|AF|＝|AP|＝2|BD|＝3，|AB|＝2＋3＝2， |BM|＝
?9?2?3?2
?2?－?2?＝32， ????
32
所以kl＝tan∠BAM＝3＝22. 2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
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(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
2
(1)若a＝3c，b＝2，cosB＝3，求c的值； π?sinAcosB?B＋(2)若a＝2b，求sin?的值． 2???2
解 (1)因为a＝3c，b＝2，cosB＝3， a2＋c2－b2
由余弦定理，得cosB＝2ac，
2222?3c?＋c－?2?321即3＝，解得c＝3.所以c＝3.
2×3c×c
sinAcosB
(2)因为a＝2b，
abcosBsinB
由正弦定理sinA＝sinB，得2b＝b， 所以cosB＝2sinB.
从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 4
故cos2B＝5. 25
因为sinB>0，所以cosB＝2sinB>0，从而cosB＝5. π?25?
因此sin?B＋2?＝cosB＝5.
??
18．(本小题满分12分)(2019·朝阳二模)某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：
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专家 评分 A 9.6 B 9.5 C 9.6 D 8.9 E 9.7 (1)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数，试求E(X)与E(Y)的值；
(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：
方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分． 方案二：分别计算专家评分的平均数xx1＋x2
2
1
和观众评分的平均数x2，用
作为该选手最终得分．
x1＋x2
2
请直接写出x与的大小关系．
1解 (1)由题图知a＝0.3，某场外观众评分不小于9的概率是2. (2)X的可能取值为2,3.
213C4C13C42
P(X＝2)＝C3＝5，P(X＝3)＝C3＝5.
55
所以X的分布列为
X P
3212
所以E(X)＝2×5＋3×5＝5. 11 / 18
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1?3?
由题意可知，Y～B?3，2?，所以E(Y)＝np＝2.
??(3)x<
x1＋x2
2
.
19．(本小题满分12分)(2019·唐山市第一中学一模)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中点．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积． 解 (1)证明：在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC＝27. 因为D为BC的中点，则BD＝CD＝7. 1→→→1→→→
因为AD＝(AB＋AC)，则|AD|2＝(AC＋AB)2，
24所以AD＝3.
因为AB2＋AD2＝4＋3＝7＝BD2，则AB⊥AD.
因为PA⊥底面ABC，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB. (2)解法一：因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连接DE.
则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角． 在Rt△DAE中，由已知，得∠AED＝45°， 则AE＝AD＝3. 12 / 18