发布时间 : 星期三 文章2019年山东省滨州市中考数学试卷（a卷）[中考]更新完毕开始阅读
（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF?AC，即BC2＝4CF?AC； （3）S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，连接OD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C， ∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC， 则DB＝DC＝
，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA， 而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA， ∴CD2＝CF?AC，即BC2＝4CF?AC； （3）连接OE，
∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA， ∴∠AOE＝120°，
S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝
×π×42﹣4
＝
﹣4
．
，
【点评】本题为圆的综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性质等，难度不大．
26．（14分）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D． （1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点 ①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线AD的距离为
时，求sin∠PAD的值．
【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，可以求得点A、B、C的坐标，再根据将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D，可以求得点D的坐标．从而可以求得直线AD的函数解析式；
（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；
②根据①中关系式和题意，可以求得点P对应的坐标，从而可以求得sin∠PAD的值． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），
当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0）， ∴OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD， ∴∠BAD＝90°， ∴OAD＝45°， ∴∠ODA＝45°， ∴OA＝OD，
∴点D的坐标为（4，0），
设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，
，得
，
即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，
设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4）， ∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t， ∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠OAD＝∠PNH＝45°，
作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°， ∴PH＝
＝
（﹣t2+t）＝
t＝﹣
（t﹣6）2+
，
∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），
；
即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是②当点P到直线AD的距离为则
t＝
，
时，如右图②所示，
解得，t1＝2，t2＝10，
则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣）， 当P1的坐标为（2，），则P1A＝
＝
，
∴sin∠P1AD＝＝；
当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，
∴sin∠P2AD＝＝；
由上可得，sin∠PAD的值是或．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．