发布时间 : 星期六 文章2018届高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线学案更新完毕开始阅读
§9.9 直线与圆锥曲线
考纲展示?
1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即?
?Ax＋By＋C＝0，???Fx，y＝0，
消去y，得ax＋bx＋c＝0.
2
2
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C________；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C________； Δ<0?直线与圆锥曲线C________.
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．
答案：(1)相交 相切 相离 (2)平行 平行或重合
[典题1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
94
A．至多一个 C．1 [答案] B
B．2 D．0
2
2
x2y2
[解析] ∵直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点，∴∴m＋n＜4.
52
∴＋＜＋＝1－m＜1， 949436∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
94
∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
94
2
2
22
4
m2＋n2
＞2，
m2n2m24－m2
x2y2
x2y2
2
(2)若直线y＝kx＋2与双曲线x－y＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( ) A.?－C.?－
2
????
1515?，? 33?15?，0? 3?
B.?0，D.?－
?
???
15?? 3?15?，－1? 3?
[答案] D
??y＝kx＋2，
[解析] 由?22
?x－y＝6，?
2
2
得
(1－k)x－4kx－10＝0.
设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
?Δ＝16k－41－k?4k则?x＋x＝>0，
1－k－10?xx＝?1－k>0，
2
1
2
2
12
2
1－k≠0，
2
2
×－10>0，
解得－
15
＜k＜－1. 3
即k的取值范围是?－
??15?，－1?. 3?
[点石成金] 直线与圆锥曲线的位置关系的两种判定方法及两个关注点 (1)判定方法
①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． (2)关注点
①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． ②判断直线与圆锥曲线的位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
考点2 弦长问题
圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝1＋k|x1－x2| ＝1＋k·＝＝
2
2
x1＋x2
2
－4x1x2
1
1＋2·|y1－y2|
kk11＋2·
y1＋y2
2
－4y1y2.
x2y2
[典题2] [2017·贵阳摸底]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)
ab1
的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.
2
(1)求椭圆的方程；
48
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
7
c1
[解] (1)由题意知，e＝＝，2a＝4.
a2
又a＝b＋c，
2
2
2
解得a＝2，b＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1.
43
(2)①当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知，|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，
x2y2
y1)，B(x2，y2)，
1
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
k将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得 (3＋4k)x－8kx＋4k－12＝0， 8k4k－12
则x1＋x2＝2，x1x2＝2，
3＋4k3＋4k所以|AB|＝k＋1|x1－x2| ＝k＋1·＝12
2
22
2
2
2
2
2
x1＋x2
2
－4x1x2
k2＋1. 2
3＋4k?1?12?2＋1??k?12k2＋1
同理，|CD|＝＝. 2
43k＋43＋2
k12
所以|AB|＋|CD|＝
2
2
2
k2＋112k＋1
＋ 22
3＋4k3k＋4
＝
84k＋148＝， 22
3＋4k3k＋47
解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. [点石成金] 处理弦长问题的两个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.
过抛物线y＝2px(p＞0)焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．
答案：y＝3x
2
2