发布时间 : 星期日 文章高考数学总复习(人教A版)配套教案:选修4-4 坐标系与参数方程 第一讲 坐标系更新完毕开始阅读
1
ρρsin θ=4,② 21
1π
ρρ2sin(-θ)=4,③ 23
1π
②×③得:ρ2ρ1ρ2sin θsin(-θ)=16,④
43由①得ρ1ρ2=
32
代入④得 3
23π
ρ2=(0<θ<),即为所求极坐标方程.
π3
sin θsin?-θ?
31
跟踪训练3 (1) π??sin?6-θ?
解析 如图,设P(ρ,θ)为直线上任一点, |OM|ρ
在△OPM中,=,
π5?sin??6-θ?sin 6π∴
2ρ11=.∴ρ=,即f(θ)=. π1ππ???sin?sin?sin??6-θ?2?6-θ??6-θ?
(2)ρ=2cos θ
π3
θ-?=-中令θ=0,得ρ=1, 解析 在ρsin??3?2所以圆C的圆心坐标为(1,0). π
2,?, 因为圆C经过点P?4??所以圆C的半径PC=
π?2?2+12-2×1×2cos =1,
4
于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ. 练出高分 A组 π1,-? 1.?2??
解析 由ρ=-2sin θ得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程π
1,-?. 为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为?2??2.ρcos θ=1
解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为x=1,其极坐标方程为ρcos θ=1.
1??x′=4x3.? ??y′=y
22??x′=λx?λ>0?,2y′2?μy?解析 设此伸缩变换为?代入x′+=1,得(λx)+=1,即16λ2x2
1616?y′=μy?λ>0??
+μ2x2=16.
2
??16λ=1?λ>0?,
与x+y=16比较得?2
?μ=1?μ>0?,?
2
2
11???λ=4,?x′=4x,
故?即所求变换为? ???μ=1,?y′=y.4.3
π
2,?化为平面直角坐标系中的点为(1,3);极坐标系中的圆ρ=解析 极坐标系中的点??3?2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其圆心为(1,0). ∴所求两点间的距离为?1-1?2+?3-0?2=3. 5.(-33,-3)
解析 点M的直角坐标为x=ρcos θ=6cos
1111
π=33,y=ρsin θ=6sin π=-3.即M(33,66
-3),所以它关于y轴对称的点为(-33,-3). 6.ρsin θ=2
解析 直线ρcos θ=2的直角坐标方程为x=2, π
直线θ=的直角坐标方程为y=x,
4所以所求的直线方程为y=2. 其极坐标方程为ρsin θ=2. 7.(2aπ,) 24
ππ2a解析 两式相除得tan θ=1?θ=?ρ=asin =. 4428.相离
解析 直线的直角坐标方程为x-y+1=0,圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,圆心为C(1,0),半径为r=1,圆心到直线的距离d=9.3
1
解析 直线2ρcos θ=1可化为2x=1,即x=;
2
2
=2>1.故直线与圆相离. 2圆ρ=2cos θ两边同乘ρ得ρ2=2ρcos θ, 化为直角坐标方程是x2+y2=2x.
133将x=代入x2+y2=2x得y2=,∴y=±.
242∴弦长为2×10.23
解析 将射线与曲线C1的方程联立,得 ππ???θ=3,?θ=3,?解得? ???ρ=4sin θ,?ρ=23,π故点A的极坐标为(23,),
3ππ???θ=3,?θ=3,同理由?得?
???ρ=8sin θ,?ρ=43,π
43,?, 可得点B的极坐标为?3??所以|AB|=43-23=23. B组 1.-8或2
解析 将极坐标方程化为直角坐标方程, 得圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1, 直线的方程为3x+4y+a=0.
由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1, |3×1+4×0+a|
即有=1,
32+42解得a=-8或a=2. 故a的值为-8或2. 2.ρcos θ=3
解析 由ρ=6cos θ得,ρ2=6ρcos θ, 又ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,∴x2+y2=6x, 即(x-3)2+y2=9,圆心为(3,0), 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ=3. 3.23
π
解析 由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线ρ=4cos(θ-)对应的直角坐标方程为
3
3
=3. 2
π
x2+y2-2x-23y=0,即(x-1)2+(y-3)2=4,直线ρsin(θ+)=1对应的直角坐标方程为
6x+3y-2=0,所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小,由垂径定理可求得弦长为23,即两交点之间的距离为23. 4.18
解析 ∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ, ∴x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36. 又∵ρ=12cos??θ-π6??, ∴ρ2=12ρ??cos θcos π6+sin θsin π6??, ∴x2+y2-63x-6y=0, ∴(x-33)2+(y-3)2=36, ∴|PQ|max=6+6+?33?2+32=18. 5.ρ=6cos?π?θ-6??
解析 如图,设圆上任一点为P(ρ,θ), 则|OP|=ρ,∠POA=θ-π
6,
|OA|=2×3=6, 在Rt△OAP中, |OP|=|OA|×cos∠POA, ∴ρ=6cos?π?θ-6??
. ∴圆的极坐标方程为ρ=6cos??θ-π
6??. 6.2
解析 由ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ, 即曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=0, 由θ=π6(ρ∈R)得,曲线C3
2的直角坐标方程为y=3x.
把y=
33
x代入x2+y2-4y=0, 得x2+13x2-433x=0,即43x2-433x=0,
解得x1=0,x2=3,∴y1=0,y2=1. ∴|MN|=?3?2+1=2.即线段MN的长为2.